Tail Sigma-Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Di 19.04.2005 | | Autor: | Brigitte |
Liebe Astrid!
Zumindest bei dem einen Problem kann ich evt. helfen. Schreib mal die geschweiften Klammern außen herum, d.h. [mm] ${\cal A}$ [/mm] (draufklicken, um Quelltext zu sehen). Dann müsste es passen.
Liebe Grüße
Brigitte
P.S.: Und alles, alles Gute für die Prüfung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Di 19.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Pass auf, ich erkläre es dir nur anschaulich, ja?
Ich habe es zwar nach langer Mega-"Rechnung" auch formal hinbekommen, aber das trägt zum Verständnis nichts bei, denn so musst du es in der Prüfung eh nicht können.
Also, die Zufallsvariablen, die bezüglich der [mm] Tail-$\sigma$-Algebra ${\cal A}_{\infty}$ [/mm] messbar sind, sind die, die bezüglich beliebig "weit hinten" gelegener [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] messbar sind. Sprich: Ihre Urbilder messbarer Mengen müssen in beliebig weit "hinten" gelegenen [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] liegen.
Sind die [mm] $\sigma$-Algebren ${\cal A}_n$ [/mm] nun die von einem Prozess [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] kanonisch erzeugten, so bedeutet das anschaulich, dass die Werte einer [mm] ${\cal A}_{\infty}$-messbaren [/mm] Abbildung nur von den Werten [mm] $X_n$ [/mm] für beliebig große $n$ (also nur vom Tail der Folge), nicht aber irgendwelchen [mm] $X_n$ [/mm] mittendrinnen abhängen darf. Die Zufallsvariable darf also nur vom asymptotischen Verhalten der Folge der [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] abhängen, nicht von einzelnen Werten.
Dies tun aber [mm] $S_n$ [/mm] und [mm] $\liminf\limits_{n \to \infty}S_n$! [/mm] Sie hängen auch von den ersten Werten der [mm] $X_i$ [/mm] ab!!
Warum ist das bei
[mm] $\liminf_{n \to \infty} \frac{S_n}{a_n}$
[/mm]
nicht so?
Nun, es gilt für alle [mm] $n_0 \in \IN$:
[/mm]
[mm] $\frac{S_n}{a_n} [/mm] = [mm] \underbrace{\frac{S_{n_0}}{a_n}}_{\to 0 \quad (n \to \infty)} [/mm] + [mm] \frac{\sum\limits_{k=n_0+1}^n X_k}{a_n}$.
[/mm]
Und nun siehst du, dass das asymptotische Verhalten von [mm] $\frac{S_n}{a_n}$ [/mm] (und damit das Verhalten von [mm] $\liminf_{n \to \infty} \frac{S_n}{a_n}$ [/mm] gar nicht von den Werten [mm] $X_1,\ldots,X_{n_0}$ [/mm] abhängt. Dies kannst du aber für jedes feste [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so machen. Also hängen die Zufallsvariable gar nicht von irgendwelchen festen [mm] $X_{n_0}$ [/mm] ab. Sie hängen nur vom Tail der Folge [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ab, d.h. die Urbilder messbarer Mengen liegen also für beliebig große [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] in
[mm] $\sigma\left( \bigcup\limits_{m \ge n_0} {\cal A}_m \right)$,
[/mm]
und damit auch in
[mm] ${\cal A}_{\infty} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \sigma\left( \bigcup\limits_{m \ge n} {\cal A}_m \right)$.
[/mm]
Ja, ich weiß: Heuristik pur!
Aber du wärest über den formalen Beweis nicht glücklicher gewesen. Und ich auch nicht... so viel Schreibarbeit... bei der Serverleistung im Moment... ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]") Daher kann ich auch die Vorschau nicht vernünftig bedienen und meine Eingaben überprüfen - hüte dich also vor Tippfehlern...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Di 19.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Lieber Stefan,
danke für deine Antwort. Schon beim ersten (schnellen) Lesen sehe ich die Intuition dahinter. Werde mich dann noch mal genauer damit auseinandersetzen.
Liebe Brigitte,
dir auch vielen Dank für den Hinweis und die guten Wünsche. Das kann ich weiß Gott gebrauchen...
Viele Grüße
Astrid
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
