T - invariant Integraloperator < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei T der indefinite Integraloperator:
(Tf) (x) := [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] für f [mm] \in [/mm] C[0,1] und x [mm] \in [/mm] [0,1]
a) Ist der Unterraum der Polynomfunktionen T-invariant?
b) Ist der Unterraum der differenzierbaren Funktionen T-invariant?
c) Prüfen Sie, ob der Raum der Funktionen, die an der Stelle x= 1/2 verschwinden, auch ein unter T invarianter Unterraum sind. |
huhu,
also ich tu mir schwer mit dem Begriff der Invarianz im Zusammenhang mit Integralen. t- invariant bedeutet ja, dass wenn x [mm] \in [/mm] U liegt, dann auch T(x) [mm] \in [/mm] U.
unter f [mm] \in [/mm] C[0,1] verstehe ich die Differenzierbarkeit in dem Intervall, kann mich aber auch irren.
spontan ohne Begründung würde ich sagen, dass a) falsch ist und b) richtig. In der Aufgabenstellung steht ja nix von Begründung ;)
zu c) mit verschwinden meinen die im Punkt x= 1/2 ex. die Funktion nicht?
wie beispielsweise [mm] \bruch{1}{0.5-x} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Di 19.06.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei T der indefinite Integraloperator:
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> (Tf) (x) := [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] für f [mm]\in[/mm] C[0,1]
> und x [mm]\in[/mm] [0,1]
>
>
> a) Ist der Unterraum der Polynomfunktionen T-invariant?
>
> b) Ist der Unterraum der differenzierbaren Funktionen
> T-invariant?
>
> c) Prüfen Sie, ob der Raum der Funktionen, die an der
> Stelle x= 1/2 verschwinden, auch ein unter T invarianter
> Unterraum sind.
> huhu,
>
> also ich tu mir schwer mit dem Begriff der Invarianz im
> Zusammenhang mit Integralen. t- invariant bedeutet ja, dass
> wenn x [mm]\in[/mm] U liegt, dann auch T(x) [mm]\in[/mm] U.
Richtig.
> unter f [mm]\in[/mm] C[0,1] verstehe ich die Differenzierbarkeit in
> dem Intervall, kann mich aber auch irren.
$C[0,1]$ bezeichnet den Raum der Funktionen [mm] $:[0,1]\to \IR$, [/mm] die stetig sind.
>
> spontan ohne Begründung würde ich sagen, dass a) falsch
> ist und b) richtig. In der Aufgabenstellung steht ja nix
> von Begründung ;)
Ich wuerde einen Beweis erwarten...
> zu c) mit verschwinden meinen die im Punkt x= 1/2 ex. die
> Funktion nicht?
> wie beispielsweise [mm]\bruch{1}{0.5-x}[/mm] ?
Damit ist gemeint, dass Du Funktionen aus $C[0,1]$ betrachten sollst, fuer die [mm] $f(\frac{1}{2})= [/mm] 0$ gilt.
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woher weiß ich denn wenn ich z.b. eine Polynomfunktion reinschmeisse, wie ich dann sehe ob der Operator invariant ist? Ich kann ja z.b. f(t) := also [mm] t^2, [/mm] dann ist z.b. x = 1
und Tf(x) = 1/3 [mm] \* t^3. [/mm] Woran sehe ich das nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 19.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> woher weiß ich denn wenn ich z.b. eine Polynomfunktion
> reinschmeisse, wie ich dann sehe ob der Operator invariant
> ist? Ich kann ja z.b. f(t) := also [mm]t^2,[/mm] dann ist z.b. x =
> 1
> und Tf(x) = 1/3 [mm]\* t^3.[/mm] Woran sehe ich das nun?
Du musst eine beliebige Polynomfunktion nehmen, also
[mm] f(t) = \summe_{k=0}^n a_nt^n [/mm]
und nachrechnen, ob $Tf$ wieder ein Polynom ist.
Bei Teil (b) geht's im Prinzip genauso: wenn $f(t)$ diff'bar ist, ist die zugehörige Stammfunktion auch diff'bar?
Viele Grüße
Rainer
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