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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:14 Fr 22.07.2011 | | Autor: | ET_WS07 |
| Aufgabe | Betrachten Sie ein LTI-System mit dem Frequenzgang:
[mm] H_2(j\Omega)=\bruch{1+e^{-j3\Omega}}{1-\bruch{1}{3}e^{j6\Omega}}
[/mm]
Bestimmen Sie die Ausgangsfolge [mm] y_2[n] [/mm] für alle n, wenn die Eingangsfolge [mm] x_2[n] [/mm] für alle n folgende Form hat:
[mm] x_2[n]=sin(\bruch{2}{3}\pi*n) [/mm] |
Diese Frage habe ich nirgendwo anders gestellt.
Standardvorgehensweise wäre ja entweder inverse Fourier-Transformation von [mm] H_2 [/mm] und Faltung im Zeitbereich oder Fouriertransformation von [mm] x_2, [/mm] Multiplikation im Frequenzbereich und Rücktransformation.
Dies ist eine Klausuraufgabe mit 4/80 Punkten (90 Minuten) und ich sehe irgendwie nicht den Trick, der die Aufgabe in 3,5 Minuten lösbar macht.
Was ich sehe ist, dass die Funktionswerte von [mm] x_2 [/mm] sich nach 3*n wiederholen.
So könnte man schreiben [mm] x_2[n]=\bruch{\wurzel{3}}{2}*(\delta[(n [/mm] mod [mm] 3)-1]-\delta[(n [/mm] mod 3) - 2])
Das alleine hilft mir aber noch nicht weiter... wer hat einen Tipp für mich, wie ich die Aufgabe angehen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 22.07.2011 | | Autor: | ET_WS07 |
Ich hatte jetzt folgende Idee:
1. Betrag des Frequenzgangs bestimmen. Ergebnis:
[mm] |H_2(j\Omega)|=\wurzel{\bruch{3+3cos(3\Omega)}{\bruch{10}{6}-cos(6\Omega)}}
[/mm]
2. [mm] x_2[n] [/mm] hat die Kreisfrequenz [mm] \bruch{2}{3}\pi, [/mm] also den Betrag bei dieser Frequenz ausrechnen:
[mm] |H_2(j\bruch{2}{3}\pi)|=3
[/mm]
3. Lösung der Aufgabe:
[mm] y_2[n] [/mm] = [mm] |H_2(j\bruch{2}{3}\pi)|*x_2[n] [/mm] = [mm] 3*sin(\bruch{2}{3}\pi*n)
[/mm]
Ich bin mir zu 90% sicher, dass das so richtig ist, würde mich aber freuen, wenn jemand mir noch die restlichen 10% Sicherheit gibt 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo ET-WS07,
ich habe mich bisher mit Kommentaren zu dieser Aufgabe zurückgehalten, da mir so einiges daran nicht klar ist. Du hast eine Übertragungsfunktion gegeben als Form einer (wahrscheinlich) skalierten Größe [mm] \Omega [/mm]. Dies kann die Abtastfrequenz sein, was ich stark vermute, muss es aber nicht. In englischen Fachbüchern wird [mm] \Omega [/mm] als Bezeichnung der 3dB-Grenzfrequenz gerne genutzt, mitunter auch als Bezeichnung für die Nyquistfrequenz.
Diesem System führst Du nun einen abgetasteten Sinus zu, dessen Phase sich von Schritt zu Schritt um 120 Grad vergrößert. Dein Lösungsansatz macht Sinn, wobei ich jedoch noch nicht verstehe, weswegen Du nur die Betragsübertragungsfunktion betrachtest. Wie sieht es denn mit der Phase dieser Übertragungsfunktion aus? Das Ganze wird klarer (zumindest für mich) wenn Du mal den Zusammenhang zwischen [mm] \Omega [/mm] und der diskreten Größe n beschreibst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Sa 23.07.2011 | | Autor: | ET_WS07 |
n ist die unabhängige Variable im Zeitbereich und [mm] \Omega [/mm] ist die unabhängige Variable im Frequenzbereich.
Was die Phase betrifft: Stimmt, die habe ich versehentlich unterschlagen. Allerdings kommt für [mm] \Omega=\bruch{2}{3}\pi [/mm] eine Phasenverschiebung in der Größenordnung [mm] 10^{-9} [/mm] heraus, die man vernachlässigen kann.
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