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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 So 13.01.2013 | | Autor: | atseaa |
| Aufgabe | Ermitteln sie alle lösungen der DGL
[m] y'(x) = A y(x) + h(x) [/m]
mit
[m] A :=
\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& -1 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 2& 0& 0& 2& 0& 0 \\ 0& 2& 0& 2& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0 \\ -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} [/m]
und
[m] h(x) := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x ln(x) \\ 2 x^3 ln(x) \\ 2 x^2 ln(x) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/m] |
Mir ist nicht klar, wie man auf ein Fundamentalsystem (dass dann die Basis des Lösungsraums des homogenen Teils der DGL ist) kommt.
Ich habe zuerst die Eigenwerte der Matrix berechnet:
[m] {\lambda}_{1,2,3} = 0 ,
{\lambda}_4 = 1 ,
{\lambda}_{5,6} = \pm i ,
{\lambda}_{7,8} = \pm i
[/m]
Für den vierten Eigenwert ist der zugehörige Eigenvektor
[m] v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/m]
Und damit müsste dieser "Basisvektor" des Fundamentalsystems so lauten:
[m] y_4 (x) = e^x * v_4 [/m]
Jetzt zum Eigenwert 0, also den ersten dreien (vielfachheit).
Einen ersten Eigenvektor kann man wieder über [m] kern(A- \lambda I) [/m] berechnen:
[m] v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/m]
Jetzt habe ich versucht, zwei weitere, linear unabhängige Vektoren (Hauptvektoren) zu diesem Wert zu finden.
Der allgemeine Ansatz (übertragen aus dem eindimensionalen, wo man auch mit Koeffizientenvergleich weiterkommt, lautet dann für die Lösung:
[m] y(x) = ( \vec a x^2 + \vec b x + \vec c ) e^{0x} = \vec a x^2 + \vec b x + \vec c [/m]
Den habe ich dann in die DGL eingesetzt:
[m]2 \vec a x + \vec b = A ( \vec a x^2 + \vec b x + \vec c ) [/m]
Koeffizientenvergleich für [mm] x^2:
[/mm]
[m]A \vec a = \vec 0 \rightarrow \vec a = v_1 [/m]
x:
[m] A \vec b = 2 \vec a \rightarrow \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/m]
[m] x^0 [/m]:
[m] \vec b = A \vec c [/m] führt auf ein LGS, ich wähle dann
[m] \vec c = \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{1}{8} \\ 0 \\ \bruch{1}{8} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/m]
Die jeweiligen Basisvektoren des Fundamentalsystems sind dann eben diese Vektoren [m] \vec v_1 , \vec b , \vec c [/m], da [m] e^0 = 1 [/m].
Für die restlichen Nullstellen ist mein Ansatz ähnlich, nur habe ich (da i bzw. -i eine doppelte statt dreifache Nullstelle ist) einen Ansatz mit
[m] y(x) = (\vec a x + \vec b ) Cos(x) [/m] beziehungsweise [m] y(x) = (\vec a x + \vec b ) Sin(x) [/m] (für -i) gewählt.
Für das weitere Verfahren muss man anschließend die Inverse der Wronskimatrix (deren Spalten bestehen aus der Basis des Fundamentalsystems) an der Stelle x = 0 bestimmen, was nicht geht, da diese singulär ist (bei mir ;) ). Ebenso ist die Determinante bei x = 0 gleich 0, was wohl heißt, dass noch Spalten linear abhängig sind.
Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?
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Hallo atseaa,
> Ermitteln sie alle lösungen der DGL
>
> [m]y'(x) = A y(x) + h(x)[/m]
>
> mit
>
>
>
> [m]A :=
> \begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& -1 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 2& 0& 0& 2& 0& 0 \\ 0& 2& 0& 2& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0 \\ -1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> und
>
> [m]h(x) := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x ln(x) \\ 2 x^3 ln(x) \\ 2 x^2 ln(x) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> Mir ist nicht klar, wie man auf ein Fundamentalsystem (dass
> dann die Basis des Lösungsraums des homogenen Teils der
> DGL ist) kommt.
>
> Ich habe zuerst die Eigenwerte der Matrix berechnet:
>
> [m]{\lambda}_{1,2,3} = 0 ,
> {\lambda}_4 = 1 ,
> {\lambda}_{5,6} = \pm i ,
> {\lambda}_{7,8} = \pm i
> [/m]
>
> Für den vierten Eigenwert ist der zugehörige Eigenvektor
> [m]v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> Und damit müsste dieser "Basisvektor" des
> Fundamentalsystems so lauten:
>
> [m]y_4 (x) = e^x * v_4[/m]
>
>
> Jetzt zum Eigenwert 0, also den ersten dreien
> (vielfachheit).
>
> Einen ersten Eigenvektor kann man wieder über [m]kern(A- \lambda I)[/m]
> berechnen:
>
> [m]v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> Jetzt habe ich versucht, zwei weitere, linear unabhängige
> Vektoren (Hauptvektoren) zu diesem Wert zu finden.
>
Bestimme den [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{2}\right)[/mm] und [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{3}\right)[/mm].
Wähle aus [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{3}\right)[/mm] einen Vektor,
der nicht in [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{2}\right)[/mm] liegt.
Wähle aus [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{2}\right)[/mm] einen Vektor,
der nicht in [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{1}\right)[/mm] liegt.
Damit ergeben sich die 3 linear unabhängige Lösungen zum Eigenwert 0.
> Der allgemeine Ansatz (übertragen aus dem
> eindimensionalen, wo man auch mit Koeffizientenvergleich
> weiterkommt, lautet dann für die Lösung:
>
> [m]y(x) = ( \vec a x^2 + \vec b x + \vec c ) e^{0x} = \vec a x^2 + \vec b x + \vec c [/m]
>
> Den habe ich dann in die DGL eingesetzt:
>
> [m]2 \vec a x + \vec b = A ( \vec a x^2 + \vec b x + \vec c )[/m]
>
> Koeffizientenvergleich für [mm]x^2:[/mm]
>
> [m]A \vec a = \vec 0 \rightarrow \vec a = v_1[/m]
>
> x:
>
> [m]A \vec b = 2 \vec a \rightarrow \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/m]
>
> [m]x^0 [/m]:
>
> [m]\vec b = A \vec c[/m] führt auf ein LGS, ich wähle dann
> [m]\vec c = \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{1}{8} \\ 0 \\ \bruch{1}{8} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/m]
>
>
> Die jeweiligen Basisvektoren des Fundamentalsystems sind
> dann eben diese Vektoren [m]\vec v_1 , \vec b , \vec c [/m], da
> [m]e^0 = 1 [/m].
>
> Für die restlichen Nullstellen ist mein Ansatz ähnlich,
> nur habe ich (da i bzw. -i eine doppelte statt dreifache
> Nullstelle ist) einen Ansatz mit
> [m]y(x) = (\vec a x + \vec b ) Cos(x)[/m] beziehungsweise [m]y(x) = (\vec a x + \vec b ) Sin(x)[/m]
> (für -i) gewählt.
>
> Für das weitere Verfahren muss man anschließend die
> Inverse der Wronskimatrix (deren Spalten bestehen aus der
> Basis des Fundamentalsystems) an der Stelle x = 0
> bestimmen, was nicht geht, da diese singulär ist (bei mir
> ;) ). Ebenso ist die Determinante bei x = 0 gleich 0, was
> wohl heißt, dass noch Spalten linear abhängig sind.
>
> Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 13.01.2013 | | Autor: | atseaa |
Zur Klarstellung: du bestimmst eigentlich [m] Kern((A- \lambda I)^2) [/m] und [m] Kern((A- \lambda I)^3) [/m], oder? (Wobei Lambda hier null ist).
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Hallo atseaa,
> Zur Klarstellung: du bestimmst eigentlich [m]Kern((A- \lambda I)^2)[/m]
> und [m]Kern((A- \lambda I)^3) [/m], oder? (Wobei Lambda hier null
> ist).
Richtig.
Gruss
MathePower
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