System konvexer Mengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 22.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] {K_{i} : i \in I} [/mm] ein System konvexer Mengen, so ist auch der Durchschnitt D = [mm] \bigcap_{i \in I} K_{i} [/mm] konvex (Damit ist insbesondere die konvexe Hülle einer jeden Punktmenge konvex). |
Hallo,
also auf diese Aufgabe gibts nur zwei Punkte...das heißt man muss hier nicht megaviel zeigen. Aber ich würde trotzdem gerne wissen, wie man das macht. Eigentlich bedeutet das doch auf gut Deutsch, dass egal wie groß das System ist, der Durchschnitt auch immer konvex ist. Unsere Definition einer konvexen Punktmenge ist: Wenn zwei Punkte A,B [mm] \in [/mm] P gegeben sind, dann liegt ihre Strecke auch im Durchschnitt.
Aber wie zeig ich nun, dass dann auch der Durchschnitt konvex sein muss?
Danke schonmal!
Lg lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Ist [mm]{K_{i} : i \in I}[/mm] ein System konvexer
> Mengen, so ist auch der Durchschnitt D = [mm]\bigcap_{i \in I} K_{i}[/mm]
> konvex (Damit ist insbesondere die konvexe Hülle einer
> jeden Punktmenge konvex).
> Hallo,
>
> also auf diese Aufgabe gibts nur zwei Punkte...das heißt
> man muss hier nicht megaviel zeigen.
So ist es. Der Beweis ist "megaeinfach" (hoppla, die Sprache von Dieter Bohlen hält Einzug in dieses Forum ! Will das jemand ?)
> Aber ich würde
> trotzdem gerne wissen, wie man das macht. Eigentlich
> bedeutet das doch auf gut Deutsch, dass egal wie groß das
> System ist, der Durchschnitt auch immer konvex ist. Unsere
> Definition einer konvexen Punktmenge ist: Wenn zwei Punkte
> A,B [mm]\in[/mm] P gegeben sind, dann liegt ihre Strecke auch im
> Durchschnitt.
>
> Aber wie zeig ich nun, dass dann auch der Durchschnitt
> konvex sein muss?
Na, mit obiger Def. von "konvex" ! Nimm a,b [mm] \in [/mm] D und bezeichne mit S die Verbindungsstrecke von a und b.
Da jedes [mm] K_i [/mm] konvex ist, gilt S [mm] \subseteq K_i [/mm] für jedes i [mm] \in [/mm] I.
Gilt dann nicht auch S [mm] \subseteq [/mm] D ??
Hoppla, der Beweis ist so megakurz, dass ich ihn jetzt fast ganz vorgemacht habe.
Jetzt habe ich aber megamäßig gegen die Forenregeln verstoßen !
FRED
> Danke schonmal!
> Lg lenzlein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 22.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
^^ ich drück mich demnächst gewählter aus!
danke für die hilfe!
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