System 1.Ord (Matrixform) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 01.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hallo wie kann man z.b
[mm]x^3\cdot y'''-x^2\cdot y''+x\cdot y=\cosh(x)[/mm] ein ein System 1.Ordnung (Matrixschreibweise) umformen ?
habe erstmal umgeformt:
[mm]y'''=\frac{y''}{x}-\frac{y}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3}[/mm]
jetzt fehlt mir ein Ansatz.
greetz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Sa 01.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo crashby,
grundsätzlich kommt man von einer DGl höherer Ordnung auf ein System 1. Ordnung, indem man für die Ableitungen von y neue Namen vergibt, also [mm] y_{0} [/mm] = y, [mm] y_{1} [/mm] = y', [mm] y_{2} [/mm] = y''. Daraus folgen dann die DGl [mm] y_{1}' [/mm] = [mm] y_{2} [/mm] und [mm] y_{0}' [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] und die für [mm] y_{2}' [/mm] folgt aus der umgeformten ursprünglichen DGl.
Bei linearen DGl kann man nun noch die Form y'(x) + A(x)*y(x) + b(x)=0
erreichen indem man nun einen Vektor y = [mm] \vektor{y_{2} \\ y_{1} \\ y_{0}} [/mm] definiert (Achtung neue Bedeutung des Namens y!) und die Größen in die Matrix A und die Inhomogenität b einsortiert. Dazu benutzt man besser wieder die ursprüngliche Form der DGl.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 02.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey, ok dann probier ich das mal.
$ [mm] y'''=\frac{y''}{x}-\frac{y}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3} [/mm] $
$ [mm] y_1=y [/mm] $
$ [mm] y_2=y' [/mm] $
$ [mm] y_2=y'' [/mm] $
dann hab ich so weiter gemacht:
$ [mm] y_1'=y_2 [/mm] $
$ [mm] y_2'= y_3 [/mm] $
$ [mm] y_3'= \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3} [/mm] $
umgeschrieben:
$ [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}=\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3} } [/mm] $
nun hab ich gehört,dass man nur lineare DGL in eine Matrix umformen kann aber hier fehlt ja y' oder geht das hier auch ?
thx greetz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 02.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo crashby,
soweit o.k., wobei das System nur aus den beiden Größen vor und hinter dem rechten Gleichheitszeichen besteht:
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3} }
[/mm]
Das Umformen geht, denn 0 [mm] \cdot [/mm] y' = 0, mit anderen Worten, die Matrix A, die mit y = [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}} [/mm] multipliziert wird enthält an der entsprechenden Stelle eine 0.
Du musst also nur noch Deinen rechten Vektor in Ay + b zerlegen, wobei der Ausdruck mit dem cosh in das b wandert.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 So 02.11.2008 | | Autor: | crashby |
> Hallo crashby,
>
> soweit o.k., wobei das System nur aus den beiden Größen vor
> und hinter dem rechten Gleichheitszeichen besteht:
>
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3} }[/mm]
>
Vielen Dank
Dann denke ich so:
[mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3}}=\vektor{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{x^2} & 0 & -\frac{1}{x}}\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\vektor{0\\0\\ \frac{\cosh(x)}{x^3}} [/mm]
greetz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 03.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo greetz,
Du denkst richtig.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mo 03.11.2008 | | Autor: | crashby |
Hey danke aber da war noch ein Vorziechenfehler oder ?
richtig müsste es so aussehen:
$ $ [mm] \vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3}}=\vektor{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{x^2} & 0 & \frac{1}{x}}\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\vektor{0\\0\\ \frac{\cosh(x)}{x^3}} [/mm] $
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo crashby,
> Hey danke aber da war noch ein Vorziechenfehler oder ?
Ja.
> richtig müsste es so aussehen:
>
[mm]\vektor{y_1' \\ y_2' \\ y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ \frac{y_3}{x}-\frac{y_1}{x^2}+\frac{\cosh(x)}{x^3}}=\vektor{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{x^2} & 0 & \frac{1}{x}}\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\vektor{0\\0\\ \frac{\cosh(x)}{x^3}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lg
Herby
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