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| Aufgabe | hallo zusammen, ich muss diese Aufgabe lösen aber ich komme nicht weiter, es wäre toll wenn jmd. mir helfen würde.
Aufgabe:
Gegeben sei nun die quadratische Form
[mm] Q\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] = [mm] x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}
[/mm]
(a) Geben Sie eine symmetrische Matrix [mm] A\in\IR^{3} [/mm] an, so dass gilt [mm] Q_{A}(x)=x^{T}Ax=Q(x) [/mm] mit [mm] x=(x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}. [/mm] |
Also, ich ging so vor:
[mm] F(x,x)=x^{T}Ax [/mm] -----> A ist gesucht!
Eigenschaften: A muss symmetrisch sein! => [mm] A=A^{T}
[/mm]
für A muss gelten: [mm] A=\pmat{ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{2} & a_{4} & a_{5} \\ a_{3} & a_{5} & a_{6} }
[/mm]
[mm] Q=F(x,x)=x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=(x_{1}, x_{2}, x_{3})\pmat{ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{2} & a_{4} & a_{5} \\ a_{3} & a_{5} & a_{6} }\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }
[/mm]
[mm] x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=((a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}), (a_{2}x_{1}+a_{4}x_{2}+a_{5}x_{3}), (a_{3}x_{1}+a_{5}x_{2}+a_{6}x_{3}))\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }
[/mm]
ich weiss nicht wie ich weiter kommen soll oder überhaupt ob das was ich gemacht habe war richtig.
bitte, ich würde mich sehr freuen wenn ihr mir helft.
vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sabelotodo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo zusammen, ich muss diese Aufgabe lösen aber ich
> komme nicht weiter, es wäre toll wenn jmd. mir helfen
> würde.
> Aufgabe:
> Gegeben sei nun die quadratische Form
> [mm]Q\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm] =
> [mm]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}[/mm]
>
> (a) Geben Sie eine symmetrische Matrix [mm]A\in\IR^{3}[/mm] an, so
> dass gilt [mm]Q_{A}(x)=x^{T}Ax=Q(x)[/mm] mit [mm]x=(x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}.[/mm]
>
> Also, ich ging so vor:
>
> [mm]F(x,x)=x^{T}Ax[/mm] -----> A ist gesucht!
>
> Eigenschaften: A muss symmetrisch sein! => [mm]A=A^{T}[/mm]
>
> für A muss gelten: [mm]A=\pmat{ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{2} & a_{4} & a_{5} \\ a_{3} & a_{5} & a_{6} }[/mm]
>
> [mm]Q=F(x,x)=x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=(x_{1}, x_{2}, x_{3})\pmat{ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{2} & a_{4} & a_{5} \\ a_{3} & a_{5} & a_{6} }\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
>
> [mm]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=((a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}), (a_{2}x_{1}+a_{4}x_{2}+a_{5}x_{3}), (a_{3}x_{1}+a_{5}x_{2}+a_{6}x_{3}))\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
>
> ich weiss nicht wie ich weiter kommen soll oder überhaupt
> ob das was ich gemacht habe war richtig.
> bitte, ich würde mich sehr freuen wenn ihr mir helft.
Multipliziere zunächst den Ausdruck auf der rechten Seite
der Gleichung aus und führe dann einen Koeffizientenvergleich durch.
Vergleiche hier die Koeffizienten vor [mm]x_{1}^{2}, \ x_{1}x_{2}, \ x_{1}x_{3}, \ x_{2}^{2}, \ x_{2}x_{3}, \ x_{3}^{2}[/mm]
>
> vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | so, ich habe weiter gerechnet wie du gesagt hast und bin auf folgendes gekommen:
[mm] x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+3x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=a_{1}x^{2}_{1}+2a_{2}x_{1}x_{2}+2a_{3}x_{1}x_{3}+a_{4}x^{2}_{2}+2a_{5}x_{2}x_{3}+a_{6}x^{2}_{3}
[/mm]
=> [mm] 0=(a-1)x^{2}_{1}+(a-1)x^{2}_{2}+(a_{6}-3)x^{2}_{3}-(2a_{2}-4)x_{1}x_{2}+2a_{3}x_{1}x_{3}+2a_{5}x_{2}x_{3}
[/mm]
Aber ich weiss immer noch nicht welche werte bzw. Zahlen hat die Matrix. wie kriege ich das raus? |
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> so, ich habe weiter gerechnet wie du gesagt hast und bin
> auf folgendes gekommen:
>
> [mm]x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+3x^{2}_{3}+4x_{1}x_{2}=a_{1}x^{2}_{1}+2a_{2}x_{1}x_{2}+2a_{3}x_{1}x_{3}+a_{4}x^{2}_{2}+2a_{5}x_{2}x_{3}+a_{6}x^{2}_{3}[/mm]
>
> =>
> [mm]0=(a_1-1)x^{2}_{1}+(a_4-1)x^{2}_{2}+(a_{6}-3)x^{2}_{3}-(2a_{2}-4)x_{1}x_{2}+2a_{3}x_{1}x_{3}+2a_{5}x_{2}x_{3}[/mm]
>
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> Aber ich weiss immer noch nicht welche werte bzw. Zahlen
> hat die Matrix. wie kriege ich das raus?
>
Hallo,
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Die rechte Seite kann doch nur =0 sein, wenn alle Faktoren =0 sind vor den [mm] x_ix_j [/mm] .
Gruß v. Angela
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