www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Symmetrische Matrix
Symmetrische Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Symmetrische Matrix: Zerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Di 07.05.2013
Autor: Reduktion

Hallo zusammen,

angenommen [mm] C\in\IR^{n\times n} [/mm] ist eine symmetrische Matrix für die eine Zerlegung [mm] C=AA^T [/mm] existiert. Dann gilt für alle [mm] x\in\IR^n: [/mm]

[mm] x^TAA^Tx=\|A^Tx\|^2\geq [/mm] 0.

D.h. diese Matrix ist positiv semidefinit. Das C p.s.d. scheint daran zu liegen, dass sich C als [mm] AA^T [/mm] darstellen lässt. Hat diese Zerlegung einen Namen? Oder muss man das als Definition von p.s.d. auffassen?

        
Bezug
Symmetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 07.05.2013
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> angenommen [mm]C\in\IR^{n\times n}[/mm] ist eine symmetrische Matrix
> für die eine Zerlegung [mm]C=AA^T[/mm] existiert. Dann gilt für
> alle [mm]x\in\IR^n:[/mm]
>  
> [mm]x^TAA^Tx=\|A^Tx\|^2\geq[/mm] 0.
>  
> D.h. diese Matrix ist positiv semidefinit. Das C p.s.d.
> scheint daran zu liegen, dass sich C als [mm]AA^T[/mm] darstellen
> lässt.


Ja

> Hat diese Zerlegung einen Namen?


Nicht , dass ich wüsste ...

> Oder muss man das
> als Definition von p.s.d. auffassen?

Nein. Man kann zeigen: ist die sym.Matrix C psd, so ex. eine sym. psd Matrix B mit [mm] C=B^2. [/mm]

Dann ist auch [mm] C=BB^T. [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Symmetrische Matrix: Definiton
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Mi 08.05.2013
Autor: Reduktion

Aufgabe
Ein k-dimensionaler Zufallsvektor $ X $ heißt k-variat normalverteilt, falls ein $ [mm] \mu\in\mathbb{R}^k [/mm] $ und ein $ [mm] L\in\mathbb{R}^{k\times m} [/mm] $ existiert mit $ rg(L)=m $, so dass $ [mm] X=LZ+\mu, [/mm] $ wobei $ [mm] Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T [/mm] $ und $ [mm] Z_i [/mm] $ $ [mm] \gls{IID} [/mm] $ sind mit $ [mm] Z_1\sim\mathcal{N}(0,1) [/mm] $.
In Zeichen schreibt man $ [mm] X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma) [/mm] $ mit $ [mm] \Sigma=LL^T [/mm] $. Ist $ k=m $, so sagt man, dass $ Y $ eine nicht singuläre Normalverteilung besitzt, andernfalls $ (k>m) $ ist $ X $ singuläre normalverteilt.


Hallo fred,

wenn ich deinen Satz nutzen möchte, dann müsste die Matrix L in der im Aufgabenteil genannten Definition p.s.d sein, richtig?

Woran erkennt man, in der Definition, dass L p.s.d. ist?

Bezug
                        
Bezug
Symmetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> Ein k-dimensionaler Zufallsvektor [mm]X[/mm] heißt k-variat
> normalverteilt, falls ein [mm]\mu\in\mathbb{R}^k[/mm] und ein
> [mm]L\in\mathbb{R}^{k\times m}[/mm] existiert mit [mm]rg(L)=m [/mm], so dass
> [mm]X=LZ+\mu,[/mm] wobei [mm]Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T[/mm] und [mm]Z_i[/mm] [mm]\gls{IID}[/mm] sind
> mit [mm]Z_1\sim\mathcal{N}(0,1) [/mm].
>  In Zeichen schreibt man
> [mm]X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma)[/mm] mit [mm]\Sigma=LL^T [/mm]. Ist [mm]k=m [/mm],
> so sagt man, dass [mm]Y[/mm] eine nicht singuläre Normalverteilung
> besitzt, andernfalls [mm](k>m)[/mm] ist [mm]X[/mm] singuläre
> normalverteilt.
>  
> Hallo fred,
>  
> wenn ich deinen Satz nutzen möchte, dann müsste die
> Matrix L in der im Aufgabenteil genannten Definition p.s.d
> sein, richtig?

Nein. [mm] \Sigma [/mm] ist psd.

FRED

>  
> Woran erkennt man, in der Definition, dass L p.s.d. ist?


Bezug
        
Bezug
Symmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Di 07.05.2013
Autor: wieschoo

Allgemein kann man jede positiv definite Matrix $A$ per Cholesky-Zerlegung in die Form [mm] $A=BB^T$ [/mm] überführen.

Laut Google lässt sich das auch auf positiv semidefinite Matrizen erweitern siehe etwa:
http://eprints.ma.man.ac.uk/1193/01/covered/MIMS_ep2008_56.pdf


Edit: gude döutche Räschtschraipung

Bezug
                
Bezug
Symmetrische Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 Mi 08.05.2013
Autor: Reduktion

Für eine bel. Matrix A mit [mm] AA^T\in\IR^{n\times n} [/mm] scheint für alle [mm] x\in\IR^n [/mm] x^TAA^Tx [mm] \geq [/mm] 0 zu sein, folglich ist [mm] AA^T [/mm] p.s.d., sehe ich das richtig?

Bezug
                        
Bezug
Symmetrische Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> Für eine bel. Matrix A mit [mm]AA^T\in\IR^{n\times n}[/mm] scheint
> für alle [mm]x\in\IR^n[/mm] x^TAA^Tx [mm]\geq[/mm] 0 zu sein, folglich ist
> [mm]AA^T[/mm] p.s.d., sehe ich das richtig?

Ja

FRED


Bezug
                                
Bezug
Symmetrische Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mi 08.05.2013
Autor: Reduktion

besitzt dann jede symmetrische und p.s.d. Matrix C eine Zerlegung der Form [mm] C=AA^T [/mm] und is diese Zerlegung gleichzusetzen mit der Cholesky-Zerlegung?

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrische Matrix: lesen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Mi 08.05.2013
Autor: wieschoo

Hast du wenigsten mal über das PDF quer drübergelesen.

Bei positiv definiten Matrizen ist der Choleskyzerlegung eindeutigt. Bei p.s.d. ist dies nicht der Fall. Es gibt eben die Cholesky-Zerlegung p.d. Matrizen und eine Zerlegung für p.s.d. Matrizen. 

 

Bezug
                                                
Bezug
Symmetrische Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Mi 08.05.2013
Autor: Reduktion

Ich habe über das PDF gelesen, trotzdem hatte das nicht den Knoten gelöst, ich glaube es hat sich jetzt geklärt. Vielen Dank euch beiden.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]