Symmetrische Gruppe, abelsch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei $X$ eine beliebige nichtleere Menge. Die Gruppe Sym(X) heißt abelsch, wenn für alle Elemente $f, [mm] g\in [/mm] Sym(X)$ gilt: [mm] $f\circ g=g\circ [/mm] f$.
Beschreiben Sie alle Mengen $X$, für welche die zugehörige symmetrische Gruppe Sym(X) abelsch ist. |
Hi,
ich hatte mir das nun so gedacht.
Die symmetrische Gruppe bezeichnet ja alle Permutationen von denen es eine bijektive Abbildung einer n-elementigen Menge auf sich selbst gibt.
Dies ist offensichtlich nur für eine Menge mit einem oder zwei Elementen möglich, da 1!=1 und 2!=2 ist. Hier wäre eine bijektive Abbildung möglich, da ich eine bijektive Abbildung von einer Menge auf ihre symmetrische Menge (wenn man das so schreiben kann) bilden kann.
Wäre die Begründung okay? Vielen dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Do 14.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Ergebnis stimmt, aber die Begründung ist noch etwas erklärungsbedürftig!
Erst einmal: [mm] Sym(X)=\{f:X\rightarrow X| f\text{ bijektiv}\}, [/mm] d.h. Sym(X) ist die Menge aller Permutationen auf $X$, nicht Permutationen, von denen es irgendwelche bijektiven Abbildungen gibt! Permutationen SIND bijektive Abbildungen!
Für $|X|=1$ oder $|X|=2$ ist Sym(X) symmetrisch, ja. Jedoch fehlt noch eine Begründung! Es gilt natürlich $|Sym(X)|=1$ bzw. $|Sym(X)|=2$, aber wieso sind diese Gruppen jetzt genau abelsch?
Die Antwort ist natürlich leicht und ich denke auch, dass du sie auch kennst, aber ich würd darüber noch eine Zeile verlieren.
Dann musst du aber noch zeigen, warum es für $|X|>2$ nicht mehr geht! Am besten mit einem Gegenbespiel für jede Kardinalität von $X$ größer als 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Tonichiwa,
das die einelementige Menge kommutativ ist, ist ja klar. Da gibt es nichts zu zeigen. Und die zwei elementige Menge ist ja gerade nach Definition kommutativ.
Doch wie kann ich nun gut begründen, dass es die einzigen sind, welche kommutativ sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 14.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Konnichiwa :p
Fangen wir mal für [mm] $X=\{1,2,3\}$ [/mm] an. Finde dort mal 2 Permutationen, die nicht kommutieren. Das kann man dann weiter ausbauen für größere Mengen X.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Wie auch immer. :P
Meinst du das in der Art:
[mm] $\{1,2,3\}\circ \{2,3,4\}=\{2,3,4\}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wie auch immer. :P
>
> Meinst du das in der Art:
>
> [mm]\{1,2,3\}\circ \{2,3,4\}=\{2,3,4\}[/mm]
Nein.
Suche zwei bijektive Abbildungen $f,g:X [mm] \to [/mm] X $ mit
$f [mm] \circ [/mm] g [mm] \ne [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$,
wobei [mm] $X=\{1,2,3 \}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
[mm] $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3}$
[/mm]
War das so gemeint. Oh man ich komme mir richtig dumm vor.
Und jetzt muss ich eine Verkettung finden, welche nicht kommutativ ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3}[/mm]
>
> War das so gemeint. Oh man ich komme mir richtig dumm vor.
>
> Und jetzt muss ich eine Verkettung finden, welche nicht
> kommutativ ist?
Ja.
Nochmal:
Finde $ f,g:X [mm] \to [/mm] X $ mit $ f [mm] \circ [/mm] g [mm] \ne [/mm] g [mm] \circ [/mm] f $,
wobei $ [mm] X=\{1,2,3 \} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Also ich habe die Menge {1,2,3} eine Permutation davon wäre zum Beispiel {3,1,2} wo ich 1 auf 3, 2 auf 1 und 3 auf 2 abbilde.
Dann wäre
[mm] $f(g(1))=2\neq [/mm] g(f(1))=1$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 14.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Was ist denn $f$ und was ist $g$ bei dir?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
f wäre
f(1)=3
f(2)=1
f(3)=2
und
g eben umgekehrt
g(3)=1
g(1)=2
g(2)=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> f wäre
>
> f(1)=3
>
> f(2)=1
>
> f(3)=2
>
> und
>
> g eben umgekehrt
>
> g(3)=1
>
> g(1)=2
>
> g(2)=3
Pech für die junge sympathische Mannschaft !
Für Deine Funktionen f und g gilt:
f(g(x))=g(f(x)) für jedes x [mm] \in \{1,2,3\}.
[/mm]
Also: weitersuchen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=3
g(1)=3
g(2)=2
g(3)=1
f(g(1))=f(3)=3
g(f(1))=g(3)=1
Also [mm] $f(g(1))\neq [/mm] g(f(1))$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Moment, das war quatsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> f(1)=1
> f(2)=2
> f(3)=3
>
> g(1)=3
> g(2)=2
> g(3)=1
>
> f(g(1))=f(3)=3
> g(f(1))=g(3)=1
Das stimmt nicht. Es ist f(1)=1, also g(f(1))=g(1)=3.
FRED
>
> Also [mm]f(g(1))\neq g(f(1))[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Aller guter Dinge sind drei:
f(1)=3
f(2)=2
f(3)=1
g(1)=2
g(2)=3
g(3)=1
f(g(1))=f(2)=2
g(f(1))=g(3)=1
Jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Do 14.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Jup, das sieht gut aus! Jetzt nehmen wir mal eine 4-elementige Menge, z.B. [mm] $X=\{1,2,3,4\}$. [/mm] Was kannst du hier für ein Gegenbeispiel finden? Also 2 Abbildungen, die nicht kommutieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Könnte ich nicht einfach die Abbildungen die ich jetzt habe beibehalten und bloß um
f(4)=4
g(4)=4
erweitern. Wenn ich nun das selbe Beispiel von gerade anbringe, dann ist dies immer noch falsch.
Sollte dies richtig sein, dann lässt dich das beliebig weiter fortsetzen. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Könnte ich nicht einfach die Abbildungen die ich jetzt
> habe beibehalten und bloß um
>
> f(4)=4
> g(4)=4
>
> erweitern.
Ja, so kannst Du das machen.
> Wenn ich nun das selbe Beispiel von gerade
> anbringe, dann ist dies immer noch falsch.
Haä ?
> Sollte dies richtig sein, dann lässt dich das beliebig
> weiter fortsetzen.
Bingo !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Zu deinem "hää"
Ich meinte damit, dass ich ja einfach die Abbildung um f(4)=4 und g(4)=4 erweiter aber trotzdem mit dem Beispiel
f(g(1))=f(2)=2
g(f(1))=g(3)=1
ein Gegenbeispiel angeben kann.
Für höher elementige Mengen kann ich dies nun beliebig weiter fortsetzen.
f(5)=5
g(5)=5
f(6)=6
g(6)=6
usw. ...
Das Gegenbeispiel bleibt immer das selbe.
Okay, ich glaube ich habe es verstanden.
Vielen Dank euch zwei (ihr solltest euch das nächste mal vielleicht einigen wer mir hilft, eigentlich war Teufel ja zu erst hier...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zu deinem "hää"
>
> Ich meinte damit, dass ich ja einfach die Abbildung um
> f(4)=4 und g(4)=4 erweiter aber trotzdem mit dem Beispiel
>
> f(g(1))=f(2)=2
> g(f(1))=g(3)=1
>
> ein Gegenbeispiel angeben kann.
>
> Für höher elementige Mengen kann ich dies nun beliebig
> weiter fortsetzen.
>
> f(5)=5
> g(5)=5
> f(6)=6
> g(6)=6
>
> usw. ...
>
> Das Gegenbeispiel bleibt immer das selbe.
>
> Okay, ich glaube ich habe es verstanden.
Prima.
> Vielen Dank euch zwei (ihr solltest euch das nächste mal
> vielleicht einigen wer mir hilft, eigentlich war Teufel ja
> zu erst hier...)
Ich glaube, Du hast eine falsche Vorstellung von diesem Forum !
Das ist mir schon in dieser Diskussion aufgefallen:
https://matheraum.de/read?t=989235
Da hatte ich mir überlegt, ob ich Dir nicht ein paar Takte schreibe.
Habs dann nicht getan und meinen Wortschatz nicht ausgepackt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Dann schreibe mir ein paar Takte.
Gerade in Foren gilt doch der Grundsatz "viele Köche verderben den Brei".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Dann schreibe mir ein paar Takte.
> Gerade in Foren gilt doch der Grundsatz "viele Köche
> verderben den Brei".
Gehts noch ? Das ist doch kompletter Unsinn !
In den meisten Diskussionen hier im Forum sind mehrere Helfer beteiligt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich wüsste zwar nicht worin du in dieser Frage einen Punkt siehst über denen sich diskutieren lässt, zumal du auf Teufels Beiträge auch nie wirklich eingegangen bist, sondern einfach direkt nach meiner Fragestellung dir die Antwort reserviert hast und eben geantwortet hast.
Das war natürlich sehr angenehm da ich so sehr schnelles Feedback bekommen habe und dafür bin ich auch äußerst dankbar, aber so eine Frage sollte meiner Meinung nach erst einmal ein Gespräch zwischen zwei Personen sein, solange kein Grund zum Eingreifen besteht.
Scheinbar seht ihr das in diesem Forum etwas anders. Was das angeht ist es wohl von Forum zu Forum unterschiedlich.
Ich stelle es mir recht verwirrend vor wenn ich mal eine Frage stelle und sich dann vier Leute auf einmal daran machen mir zu Helfen. Ebenso wird sich dann auch am Ende wohl niemand verpflichtet fühlen den Thread zu ende zu bringen.
Nun gut, das ist nur meine Meinung. Und einen triftigen Grund für deine Antworten gab es eben nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Do 14.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Uff, also eigentlich klappt das immer sehr gut, auch mit vielen verschiedenen Helfern. Denn jeder beteiligte Helfer weiß, wo die Lösung hingehen soll.
Du stellst eine Frage.
Ich antworte.
Du stellst dazu die nächste Frage dazu.
Der Helfer liest sich den Thread durch und weiß, wie es weitergeht und antwortet eben.
etc.
Fred hat genau die Schritte gepostet, die ich dir auch gesagt hätte! Meine Wortwahl wäre natürlich anders gewesen, aber inhaltlich wäre das äquivalent gewesen. Das geht vielleicht in anderen Foren nicht so gut, wenn eben jeder seine eigene Meinung von etwas hat. Aber bei nicht all zu komplizierten mathematischen Fragen läuft so was glatt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Do 14.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Dann werde ich mich darüber auch nicht weiter "beschweren".
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