Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:43 Mo 04.06.2007 | | Autor: | lenuska |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] .Beweisen Sie:
(a) [mm] Sym_n=<(1 [/mm] 2),....,(n-1 n)>
(b) [mm] Sym_n=<(1 [/mm] 2),....,(1 2 3 ... n)> |
Hallo!
ich würde zuerst zeigen ,dass die Aussage (a) gilt und im Anschluss ,dass (a)=(b) ist .Wüsste jetzt aber nicht ,wie man die Gleichheit von (a) beweisen könnte...Könnte mir vielleicht jemand ein Paar Tipps zu der Vorgehensweise geben?!
Vielen Dank im Voraus!
LG Lena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Mo 04.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das Problem hatten wir jüngst an dieser Stelle beim Wickel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mo 04.06.2007 | | Autor: | lenuska |
 ) Vielen Dank für die schnelle Antwort!!!Muss jetzt kurz nachdenken ,wie ich die Information auf meine Aufgabe anwende!
LG Lena
|
|
|
| |
|
Nachdem ich ein ähnliches Problem habe, habe ich noch eine Rückfrage:
Also, dass ich das richtig verstehe:
Die <...> ist also eine Untergruppe, die beiden angegebenen Fälle sollen beide die Gruppe [mm] S_n [/mm] erzeugen.
Ich weiß, dass sich jede Permutation als endliches Produkt von Transpositionen darstellen lässt.
Nur: Das sind ja nicht alle Transpositionen.. Das sind nur n-1 Transpositionen.
Ich muss also zeigen, dass sich jede Transposition (a b) durch (i i+1) ausdrücken lässt.
Ich kann ja sagen, dass
(x,y)=(1,y)(1,x)(1,y)
also verwende ich nur Zyklen der Form (1,x). Und die kann ich schreiben als:
(1,i)=(i-1,i)...(2,3)(1,2)(2,3)...(i-1,i)
Nur: Langt das als Beweis? (Falls es richtig ist?)
Und: Während die Antwort auf die zweite ganz einleuchtend ist - woher kommt die? Wie komme ich auf die Richtigkeit?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Di 05.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Elisabeth!
> Nachdem ich ein ähnliches Problem habe, habe ich noch eine
> Rückfrage:
>
> Also, dass ich das richtig verstehe:
> Die <...> ist also eine Untergruppe, die beiden
> angegebenen Fälle sollen beide die Gruppe [mm]S_n[/mm] erzeugen.
>
> Ich weiß, dass sich jede Permutation als endliches Produkt
> von Transpositionen darstellen lässt.
> Nur: Das sind ja nicht alle Transpositionen.. Das sind nur
> n-1 Transpositionen.
und zwar einer ganz bestimmten Form.
> Ich muss also zeigen, dass sich jede Transposition (a b)
> durch (i i+1) ausdrücken lässt.
> Ich kann ja sagen, dass
> (x,y)=(1,y)(1,x)(1,y)
> also verwende ich nur Zyklen der Form (1,x). Und die kann
> ich schreiben als:
> (1,i)=(i-1,i)...(2,3)(1,2)(2,3)...(i-1,i)
>
> Nur: Langt das als Beweis? (Falls es richtig ist?)
Warum hast du da Bedenken? Wenn du rückwärts einsetzt, hast du deine beliebige Permutation in ein Produkt von Transpositionen der gewünschten Form verwandelt. Also liegen alle Permutationen in der von diesen Transpositionen erzeugten Untergruppe. Ob das auch anders oder kürzer oder schöner geht, interessiert doch hier keinen.
> Und: Während die Antwort auf die zweite ganz einleuchtend
> ist - woher kommt die?
Mein Prof hatte darauf die Antwort: Das fällt jetzt ein bißchen vom Himmel. Richtiger ist wohl: Die findet man durch langes und mühsames Herumprobieren oder man hat eben einen Geistesblitz.
> Wie komme ich auf die Richtigkeit?
Durch einen logisch stringenten Beweis, wie sonst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 07.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
