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| Aufgabe | Sei q eine quadratische Form auf [mm] \IR^2, [/mm] d.h.
[mm] $$q(x)=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2$$
[/mm]
mit [mm]a,b,c \in \IR[/mm]. Finden Sie die symmetrische Bilinearform [mm] \varphi [/mm] mit [mm] q_\varphi=q. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \varphi [/mm] genau dann nicht entartet ist, wenn [mm] b^2-ac\neq0. [/mm] |
Also quadratische Form bedeutet meiner Meinung nach, dass [mm] $$q_\varphi(x)=\varphi(v,v)$$ [/mm] Und wenn [mm] q_\varphi=q [/mm] gilt, dann müsste gelten: [mm] $$q(x)=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2=\varphi(v,v)$$
[/mm]
Aber irgendwie bin ich mit v und x durcheinander gekommen oder?
nicht entartet bedeutet nach Definition in der Vorlesung, dass die Determinante der Gram'schen Matrix [mm] \neq [/mm] 0 sein muss, deshalb müsste [mm] b^2-ac [/mm] die Nullstelle der Determinante sein....
Soweit zu meinen Überlegungen. Ich habe das Gefühl, als bin ich gar nicht so weit von der Lösung entfernt, mir fehlt nur der entscheidende Ansatz....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Also prinzipiell sind Quadratische Formen und symmetrische BLF nur zwei Gesichter ein und derselben Sache. Jede symm. BLF $b(x,y)$ gibt dir in kanonischer Weise die Quadratische Form $q(x)=b(x,x)$ und jede QF gibt dir umgekehrt die zugehörige symm. BLF durch [mm] $b(x,y)=\frac{1}{4}(q(x+y)-q(x-y))$ [/mm] (Nachrechnen! Beachte, dass dazu [mm] $\frac{1}{4}\in\mathbb{K}$ [/mm] sein muss, d.h. [mm] $4\ne [/mm] 0$). Mit dieser Methode kannst du zu jeder QF die zugeh. BLF ausrechnen, auch falls [mm] $\dim V=\infty$.
[/mm]
Im endlich-dimensionalen Fall, wie in deiner Aufgabe, ist [mm] $V\cong\mathbb{K}^n$. [/mm] Damit ist die Sache sogar noch leicher, denn jede symm BLF lässt sich nach Wahl einer Basis schreiben als $b(x,y)=x^tGy$, wobei [mm] $G=G^t$ [/mm] symmetrisch ist (Die Symmetriebedingung bestimmt G eindeutig, d.h. es ist okay zu sagen DIE Gramsche Matrix von b). Ebenso lässt sich jede QF schreiben als $q(x)=x^tGx$, insbesondere ist die das G von b gleich dem G von q genau dann, wenn q die zugeh. QF von b ist.
Was heißt das alles für deine Aufgabe? Finde eine Form $q(x)=x^tGx$, wobei G symmetrisch ist. Die zugehörige symmetrische BLF ist dann $b(x,y)=x^tGy$ und die ist genau dann entartet, wenn [mm] $\det [/mm] G=0$ ist.
Gruß, Robert
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> Also prinzipiell sind Quadratische Formen und symmetrische
> BLF nur zwei Gesichter ein und derselben Sache. Jede symm.
> BLF [mm]b(x,y)[/mm] gibt dir in kanonischer Weise die Quadratische
> Form [mm]q(x)=b(x,x)[/mm] und jede QF gibt dir umgekehrt die
> zugehörige symm. BLF durch [mm]b(x,y)=\frac{1}{4}(q(x+y)-q(x-y)[/mm]
> (Nachrechnen! Beachte, dass dazu [mm]\frac{1}{4}\in\mathbb{K}[/mm]
Bist Du Dir sicher mit dem [mm] \frac{1}{4}? [/mm] Wir haben so eine Polarisationsformel in der Vorlsesung gehabt, aber da stand [mm] \frac{1}{2}...
[/mm]
> sein muss, d.h. [mm]\mathrm{char}\ \mathbb{K}\ne2[/mm]).
Was bedeutet das [mm] \text{char} \IK \neq [/mm] 2 noch mal? Das scheine ich verpasst zu haben...
> Mit dieser Methode kannst du zu jeder QF die zugeh. BLF ausrechnen,
> auch falls [mm]\dim V=\infty[/mm].
>
> Im endlich-dimensionalen Fall, wie in deiner Aufgabe, ist
> [mm]V\cong\mathbb{K}^n[/mm]. Damit ist die Sache sogar noch leicher,
> denn jede symm BLF lässt sich nach Wahl einer Basis
> schreiben als [mm]b(x,y)=x^tGy[/mm], wobei [mm]G=G^t[/mm] symmetrisch ist
> (Die Symmetriebedingung bestimmt G eindeutig, d.h. es ist
> okay zu sagen DIE Gramsche Matrix von b). Ebenso lässt sich
> jede QF schreiben als [mm]q(x)=x^tGx[/mm], insbesondere ist die das
> G von b gleich dem G von q genau dann, wenn q die zugeh. QF
> von b ist.
>
> Was heißt das alles für deine Aufgabe? Finde eine Form
> [mm]q(x)=x^tGx[/mm], wobei G symmetrisch ist.. Die zugehörige
> symmetrische BLF ist dann [mm]b(x,y)=x^tGy[/mm] und die ist genau
> dann entartet, wenn [mm]\det G=0[/mm] ist.
>
> Gruß, Robert
Vielen Dank, ich bin wohl doch noch weiter von der Lösung entfernt als ich dachte....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Bist Du Dir sicher mit dem [mm]\frac{1}{4}?[/mm] Wir haben so eine
> Polarisationsformel in der Vorlsesung gehabt, aber da stand
> [mm]\frac{1}{2}...[/mm]
Ja ihr hattet das sicher als [mm] $b(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$. [/mm] Das ist dasselbe.
> Was bedeutet das [mm]\text{char} \IK \neq[/mm] 2 noch mal? Das
> scheine ich verpasst zu haben...
Das bedeutet nur dass [mm] $1+1\ne [/mm] 0$ ist, also [mm] $\frac{1}{2}\in\mathbb{K}$.
[/mm]
> Vielen Dank, ich bin wohl doch noch weiter von der Lösung
> entfernt als ich dachte....
Wenn du die Lösung hast, wirst du dich fragen was eigentlich das Problem war... 
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ok, und die Gramsche Matrix erhalte ich indem ich irgendeine Basis nehme?
In dieser Aufgabe z.B. die kanonische Basis von [mm] \IR^2?
[/mm]
Mit der Wahl von [mm] K_2 [/mm] wäre also
[mm] G(\varphi)=\pmat{\varphi(u_1,u_1)&\varphi(u_1,u_2)\\\varphi(u_2,u_1)&\varphi(u_2,u_2)}=\pmat{\varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})&\varphi(\pmat{1\\0},\pmat{0\\1})\\\varphi(\pmat{0\\1},\pmat{1\\0})&\varphi(\pmat{0\\1},\pmat{0\\1})}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja Standartbasis is immer gut, aber du weißt ja nicht was [mm] $\varphi(u_1,u_2)$ [/mm] ist, denn du kennst [mm] $\varphi$ [/mm] ja noch nicht. Wie ich schon geschrieben habe ist aber [mm] $G(\varphi)=G(q)$, [/mm] und letzteres kannst du bestimmen. Wie gesagt, finde eine Form $q(x)=x^tGx$, wobei G symmetrisch ist.
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> Ja Standartbasis is immer gut, aber du weißt ja nicht was
> [mm]\varphi(u_1,u_2)[/mm] ist, denn du kennst [mm]\varphi[/mm] ja noch nicht.
na ja, ich könnte doch [mm] \varphi(u_1,u_1) [/mm] mit Hilfe der Polarisationsformel errechnen, dann wäre
[mm] \varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})=\frac{1}{2}\left(q\pmat{2\\0}-q\pmat{1\\0}-q\pmat{1\\0}\right)=\dots=\frac{1}{2}\pmat{a-2b-c\\0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Do 10.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> na ja, ich könnte doch [mm]\varphi(u_1,u_1)[/mm] mit Hilfe der
> Polarisationsformel errechnen, dann wäre
ok...
[mm]\varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})=\frac{1}{2}\left(q\pmat{2\\0}-q\pmat{1\\0}-q\pmat{1\\0}\right)=\dots=\frac{1}{2}\pmat{a-2b-c\\0}[/mm]
Irgendwas stimmt da nicht, am ende muss ein Skalar rauskommen und kein Vektor...
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> > na ja, ich könnte doch [mm]\varphi(u_1,u_1)[/mm] mit Hilfe der
> > Polarisationsformel errechnen, dann wäre
> ok...
>
> [mm]\varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})=\frac{1}{2}\left(q\pmat{2\\0}-q\pmat{1\\0}-q\pmat{1\\0}\right)=\dots=\frac{1}{2}\pmat{a-2b-c\\0}[/mm]
> Irgendwas stimmt da nicht, am ende muss ein Skalar
> rauskommen und kein Vektor...
Ups, Denkfehler:
[mm] q\pmat{2\\0}=4a [/mm] , da [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Fr 11.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Da hast du dich irgendwo verrechnet
Es sollte rauskommen:
[mm]b(x,y)=x^t\pmat{a&b\\b&c}y[/mm]
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> > > na ja, ich könnte doch [mm]\varphi(u_1,u_1)[/mm] mit Hilfe der
> > > Polarisationsformel errechnen, dann wäre
> > ok...
> >
> >
> [mm]\varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})=\frac{1}{2}\left(q\pmat{2\\0}-q\pmat{1\\0}-q\pmat{1\\0}\right)=\dots=\frac{1}{2}\pmat{a-2b-c\\0}[/mm]
> > Irgendwas stimmt da nicht, am ende muss ein Skalar
> > rauskommen und kein Vektor...
>
> Ups, Denkfehler:
>
> [mm]q\pmat{2\\0}=4a[/mm] , da [mm]x_1=2[/mm] und [mm]x_2=0[/mm] , oder?
Hallo,
ja.
Du erhältst also [mm] \varphi(\pmat{1\\0},\pmat{1\\0})=a.
[/mm]
Jetzt mach weiter.
Gruß v. Angela
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