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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 So 03.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Warum besitzt jede symmetrische Abbildung [mm] \phi: [/mm] V->V einen (reellen) Eigenwert? |
Hallo
Sei B eine orthonormalbasis von V.
A= [mm] [\phi]_{BB} \in M_{n \times n} (\IR) [/mm] ist eine symmetrische Matrix: [mm] A^t [/mm] = A
Wenn ich sie als komplexe auffasse so gilt [mm] A^{\*} [/mm] = A
Jede komplexe Matrix hat einen eigenwert, da die Matrix aber symmetrisch ist muss dieser reell sein. (beweis , dass Eigenwerte von symmetrischen Abbildungen reell sind, war in der vorlesung )
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 So 03.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Warum besitzt jede symmetrische Abbildung [mm]\phi:[/mm] V->V einen
> (reellen) Eigenwert?
> Hallo
> Sei B eine orthonormalbasis von V.
> A= [mm][\phi]_{BB} \in M_{n \times n} (\IR)[/mm] ist eine
> symmetrische Matrix: [mm]A^t[/mm] = A
> Wenn ich sie als komplexe auffasse so gilt [mm]A^{\*}[/mm] = A
> Jede komplexe Matrix hat einen eigenwert, da die Matrix
> aber symmetrisch ist muss dieser reell sein. (beweis , dass
> Eigenwerte von symmetrischen Abbildungen reell sind, war in
> der vorlesung )
>
> Ist das so richtig?
ja, so kannst Du argumentieren.
Unabhängig vom Fundamentalsatz der Algebra, kannst du für symmetrisches [mm] \phi [/mm] auch so vorgehen, wenn dim V < [mm] \infty [/mm] ist:
Sei <*|*> das Skalarprodukt auf V und [mm] ||*||:=\wurzel{<*|*>} [/mm] die zugeh. Norm auf V
Dann ist [mm] $K:=\{v \in V: ||v||=1\} [/mm] kompakt und die Abbildung v [mm] \to |<\phi(v)|v>| [/mm] stetig auf K, also ex.
[mm] \mu:= [/mm] max [mm] \{|<\phi(v)|v>|:v \in K \}.
[/mm]
Zeige: [mm] \mu [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] \phi [/mm] oder [mm] $-\mu$ [/mm] ist ein Eigenwert von [mm] \phi
[/mm]
FRED
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