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Ich hab hier eine Aufgabe in der ich die Automorphismengruppe von einer Standardparabel berechnen soll, allerdings komme ich mit diesem ganzen Thmea Dreicke und so nicht zurecht und bräuchte jemanden der mir mal ganz genau erklärt was Automorphismus bzw. Symmetrien sind.
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oder vielleicht kann mir jemand erstmal genau erklären wie das mit der symmetrie funktioniert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hab hier eine Aufgabe in der ich die
> Automorphismengruppe von einer Standardparabel berechnen
> soll, allerdings komme ich mit diesem ganzen Thmea Dreicke
> und so nicht zurecht und bräuchte jemanden der mir mal
> ganz genau erklärt was Automorphismus bzw. Symmetrien
> sind.
Hast du dir schon mal ![[]](/images/popup.gif) den Wikipedia-Artikel angeschaut?
Ganz allgemein bedeutet Symmetrie "Invarianz unter gewissen Transformationen", genauer: die Transformation bildet ein Objekt bijektiv auf sich selbst ab. Ein
Zum Beispiel: Ein Kreis wird auf sich selbst abgebildet, wenn ich um den Mittelpunkt des Kreises drehe.
Eine solche bijektive Abbildung eines Objekts(hier: des Kreises) auf sich selbst nennt man Automorphismus.
Hasst du zwei solcher Automorphismen [mm] $\phi_1$, $\phi_2$, [/mm] dann ist die Hintereinanderausführung [mm] $\phi_2\circ\phi_1$ [/mm] auch ein Automorphismus. Alle Automorphismen bilden eine Gruppe mit der Komposition [mm] $\circ$ [/mm] als Gruppenverknüpfung.
Nehmen wir wieder den Kreis: außer den Drehungen um den Mittelpunkt gibt es noch die Spiegelungen an einer Geraden durch den Mittelpunkt, die ebenfalls Automorphismen sind. Jede Hintereinanderausführung zweier Drehungen ist wieder eine Drehung, jede Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Drehung ist ein Spigelung, und jede Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen ist eine Drehung.
Um zur Parabel in der Aufgabe zurückzukommen: überlege dir, welche Abbildungen der xy-Ebene auf sich selbst die Parabel bijektiv auf sich selbst abbilden. Eine solche Abbildung fällt mir dabei sofort ein.
Viele Grüße
Rainer
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Also wenn P: [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \to x^2 [/mm] die Normalparabel ist und [mm] Aut(P):{\alpha \in O(\IR^2) : \alpha (P) = P} [/mm] ist muss ich rausfinden was [mm] \alpha [/mm] für eine Funktion sein muss damit das gilt.
Also damit [mm] \alpha \circ [/mm] P = P ist?
Dazu würden mir 3 Abbildungen einfallen:
1. [mm] \alpha: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] : x [mm] \to [/mm] x
2. x [mm] \to [/mm] |x|
3. x [mm] \to [/mm] -x
weil wenn ich dann [mm] \alpha(P) [/mm] einsetze also [mm] \alpha(x^2) [/mm] kommt [mm] x^2 [/mm] wieder raus.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn P: [mm]\IR \to \IR[/mm] : x [mm]\to x^2[/mm] die Normalparabel ist
> und [mm]Aut(P):{\alpha \in O(\IR^2) : \alpha (P) = P}[/mm] ist muss
> ich rausfinden was [mm]\alpha[/mm] für eine Funktion sein muss
> damit das gilt.
> Also damit [mm]\alpha \circ[/mm] P = P ist?
Das hast Du mißverstanden !!
Es ist [mm] $P=\{(x,x^2): x \in \IR \}$
[/mm]
P ist also eine Menge ! Nämlich der Graph der Normalparabel
>
> Dazu würden mir 3 Abbildungen einfallen:
>
> 1. [mm]\alpha: \IR^2 \to \IR^2[/mm] : x [mm]\to[/mm] x
> 2. x [mm]\to[/mm] |x|
> 3. x [mm]\to[/mm] -x
>
Das sind keine Abbildungen von [mm] \IR^2 [/mm] in [mm] \IR^2
[/mm]
> weil wenn ich dann [mm]\alpha(P)[/mm] einsetze also [mm]\alpha(x^2)[/mm]
> kommt [mm]x^2[/mm] wieder raus.....
>
Gesucht sind bijektive Abbildungen [mm] \alpha [/mm] mit
[mm] \alpha(\{(x,x^2): x \in \IR \})=\{(x,x^2): x \in \IR \}
[/mm]
FRED
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Ja bei den Abbildungen [mm] \alpha [/mm] hab ich mich vertan meinte von [mm] \IR \to \IR [/mm]
hmm also wenn P eine Menge ist und [mm] \alpha [/mm] damit auch kann ich dann sagen
[mm] \alpha [/mm] 1 { [mm] (x,x):x\in \IR [/mm] }
[mm] \alpha [/mm] 2 {(x,|x|): x [mm] \in \IR [/mm] }
[mm] \alpha [/mm] 3 {(x, -x) : x [mm] \in \IR [/mm] } ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja bei den Abbildungen [mm]\alpha[/mm] hab ich mich vertan meinte
> von [mm]\IR \to \IR[/mm]
Nein !!!! Gesucht sind bijektive Abbildungen [mm] $\alpha:P \to [/mm] P$
>
> hmm also wenn P eine Menge ist und [mm]\alpha[/mm] damit auch
Neeeeeiiiin ! [mm] \apha [/mm] ist keine Menge !
> kann
> ich dann sagen
>
> [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 { [mm](x,x):x\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 {(x,|x|): x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3 {(x, -x) : x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ?
Das ist nur dummes Zeug ! Pardon....
FRED
>
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d.h. ich suche bijektive abbildungen [mm] \alpha [/mm] : {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2=y [/mm] } [mm] \to [/mm] {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] = y } also von P [mm] \to [/mm] P
und für diese Abbildungen muss gelten [mm] \alpha [/mm] (P) =P hab ich es jetzt richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> d.h. ich suche bijektive abbildungen [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: {(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> : [mm]x^2=y[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] : [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= y } also von P [mm]\to[/mm] P
>
> und für diese Abbildungen muss gelten [mm]\alpha[/mm] (P) =P hab
> ich es jetzt richtig verstanden?
Ja. Das hat Rainer Dir hier
https://matheraum.de/read?i=847147
ausführlichst erklärt. Liest Du sowas eigentlich nicht ?
FRED
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Doch ich habe das gelesen aber wohl falsch verstanden, da ich dachte [mm] \alpha [/mm] wäre eine Abbildung von [mm] \IR \to \IR
[/mm]
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