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Hallo,
folgende Frage. Wenn ich die Zykel ({1,2}, {3,4}) mit {2,4} multipliziere dann kommt ({1,4}, {2,3}) heraus. Das ist mir auch irgendwie klar (2 geht auf 4, 4 geht auf 3 -> 2 geht auf 3...)
Nun gibt es laut meinem Vorlesungsskipt auch eine Symmetriegruppe die meinen Graphen unverändert lassen. Wenn ich das richtig verstanden habe kann ich einen Zykel dieser Gruppe mit der Kantenmenge E ({1,2}, {3,4}) multiplizieren und es kommt wieder der gleiche Graph heraus. Die Symmetriegruppe zu E ist laut Skript: {id, (1,2), (3,4), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3}.
Das versteh ich aber nicht. Wenn ich ({1,2}, {3,4}) mit (1,2) multipliziere, dann kommt doch {3,4} mit den Fixpunkten 1 und 2 heraus?!
Wo liegt mein Denkfehler?
MfG
das Informatikmonster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Das versteh ich aber nicht. Wenn ich ({1,2}, {3,4}) mit
> (1,2) multipliziere, dann kommt doch {3,4} mit den
> Fixpunkten 1 und 2 heraus?!
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Hallo,
das Zykel (1,2) beschreibt ja eine Funktion [mm] \pi_1 [/mm] v. [mm] \{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\}.
[/mm]
Es ist
[mm] \pi_1(1)=2
[/mm]
[mm] \pi_1(2)=1
[/mm]
[mm] \pi_1(3)=3
[/mm]
[mm] \pi_1(4)=4.
[/mm]
Das Zykel (1,2)(3,4) beschreibt eine Funktion [mm] \pi_2 [/mm] v. [mm] \{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\}
[/mm]
mit
[mm] \pi_2(1)=2
[/mm]
[mm] \pi_2(2)=1
[/mm]
[mm] \pi_2(3)=4
[/mm]
[mm] \pi_2(4)=3.
[/mm]
Interessierst Du Dich für [mm] (1,2)(3,4)\circ [/mm] (1,2), so ist das die Verkettung beider Funktionen, also [mm] \pi_2\circ\pi_1.
[/mm]
Jetzt rechnen wir die Sache mal aus:
[mm] (\pi_2\circ\pi_1)(1)=\pi_2(\pi_1(1))=\pi_2(2)=1
[/mm]
[mm] (\pi_2\circ\pi_1)(2)=\pi_2(\pi_1(2))=\pi_2(1)=2
[/mm]
[mm] (\pi_2\circ\pi_1)(3)=\pi_2(\pi_1(3))=\pi_2(3)=4
[/mm]
[mm] (\pi_2\circ\pi_1)(4)=\pi_2(\pi_1(4))=\pi_2(4)=3
[/mm]
Also vertauscht [mm] \pi_2\circ\pi_1 [/mm] 3 und 4, also ist [mm] \pi_2\circ\pi_1=(3,4).
[/mm]
Mir hilft bei den Permutationen die 2-Zeilige Schreibweise, statt (1,2) also [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 4}.
[/mm]
Beim Multiplizieren muß man von hinten nach vorn überlegen, also v. rechts nach links.
Gruß v. Angela
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Ich verstehe es leider noch nicht so ganz.
Wenn ich die ander Schreibweise wähle, dann ist ja (1,2)(3,4)
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 }
[/mm]
und (1,2) ist
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 }
[/mm]
Dann schreibe ich [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 }
[/mm]
und rechne von rechts nach links. Mein Denkschritt:
rechts geht 1 auf 2, links geht 2 auf 1 --> also geht dann 1 auf 1
rechts geht 2 auf 1, links geht 1 auf 2 --> also geht dann 2 auf 2
rechts geht 3 auf 3, links geht 3 auf 4 --> also geht dann 3 auf 4
rechts geht 4 auf 4, links geht 4 auf 3 --> also geht dann 4 auf 3
Als Ergebnis bekäme ich [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 }
[/mm]
und in Zykelschreibweise (3,4), da ja 1 und 2 Fixpunkte sind.
Könnte mir nochmal jemand behilflich sein?
Danke,
Informatikmonster
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Mo 17.03.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
hat sich erledigt, siehe Korektur oben.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:28 Mo 17.03.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Interessierst Du Dich für [mm](1,2)(3,4)\circ[/mm] (1,2), so ist das
> die Verkettung beider Funktionen, also [mm]\pi_2\circ\pi_1.[/mm]
>
> Jetzt rechnen wir die Sache mal aus:
>
> [mm](\pi_2\circ\pi_1)(1)=\pi_2(\pi_1(1))=\pi_2(1)=2[/mm]
> [mm](\pi_2\circ\pi_1)(2)=\pi_2(\pi_1(2))=\pi_2(2)=1[/mm]
> [mm](\pi_2\circ\pi_1)(3)=\pi_2(\pi_1(3))=\pi_2(3)=4[/mm]
> [mm](\pi_2\circ\pi_1)(4)=\pi_2(\pi_1(4))=\pi_2(4)=3[/mm]
>
> Also vertauscht [mm]\pi_2\circ\pi_1[/mm] jeweils 1,2 und 3,4, also
> ist [mm]\pi_2\circ\pi_1=(1,2)(3,4).[/mm]
Nee, hier haste dich verrechnet! Elemmentfremde Zyklen sind vertauschbar, also ist das Produkt (3,4).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Oh nein!
Ich hatte mich noch im Hinterkopf gewundert...
Ich korrigier's.
Gruß v. Angela
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