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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Jenny05 |
Ich habe eine Frage zur Symmetrie.
f(x) [mm] x^3+2x+3
[/mm]
f(-x) [mm] -x^3-2x-3 [/mm] Diese Funktion ist doch punktsymmetrisch weil f(-x) gleich
-f(x) ist und sich ALLE Vorzeichen umgedreht haben oder?
Wie wäre es aber bei dieser Funktion:
[mm] f(x)x^3+x^2-3
[/mm]
[mm] f(-x)-x^3+x^2+3
[/mm]
Hier haben sich ja nicht alle Vorzeichen umgedreht, also müsste diese Funktion gar keine Symmetrie haben oder?
Also was sind die Kriterien für eine Punktsymmetrie oder Achsensymmetrie?
Müsste schnell eine Antwort haben schreibe Montag eine Mathe Klausur
Danke
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Grundsätzlich gilt:
Ist die Funktion gerade, d.h. liegen nur gerade Exponenten, einschließlich der Null, vor ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
z.B.: 56,2 [mm] x^{44}-2,1 x^{8}+2.
[/mm]
Ist die Funktion ungerade, ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
In allen anderen Fällen,ist die Funktion nicht gerade oder ungerade, d.h. es treten sowohl gerade als auch ungerade Exponente auf, ist eine Symmetrie (grundsätzlich) nicht erkennbar.
z.B. 56,2 [mm] x^{43}-2,1 x^{8}+2
[/mm]
Kleine Erweiterung: Bei -wäre da nicht der böse Schwanz- ungeraden Funktionen, die als letztes Glied eine Konstante k haben, darf man um die Punktsymmetrie zu (0;k) durchaus wissen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 02.04.2005 | | Autor: | m0rph3us |
HI,
ich hätte bezüglich diesem Thema auch nochmal eine Frage.
Funktion: f(x) = [mm] x^3+2x+3
[/mm]
f(x) = f(-x) oder gerade Hochzahlen = achsensymmetrisch
-f(x) = f(-x) oder ungerade Hochzahlen = punktsymmetrisch
gerade + ungerade Hochzahlen = keine Aussage möglich
ich hoffe soweit stimmt alles.
Nun zu meiner Frage wenn ich die Funktion f auf Symmetrie überprüfen will, wie muss ich dann vorgehen, wenn ich es nicht an den Hochzahlen ablesen will?
Ansatz Versuch:
Achsensymmetrisch:
[mm] x^3+2x+3 [/mm] = [mm] (-x)^3 [/mm] + 2(-x) + 3 !! oder wird die 3 zu -3 ?
[mm] x^3 [/mm] + 2x + 3 = [mm] -x^3 [/mm] -2x +3 d.h. nicht Achsensymmetrisch.
Punktsymmetrisch:
[mm] (-x)^3 [/mm] + 2(-x) + 3 = - [mm] (x^3+2x+3)
[/mm]
[mm] -x^3 [/mm] -2x +3 = [mm] -x^3-2x [/mm] -3 ... wäre auch keine Aussage möglich, da ich aber weiß, es sind nur ungerade Hochzahlen muss es Punktsymmetrisch sein.
Meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf die 3 ...
Ich verstehe f(-x) so, dass alle x zu -x werden, aber normale Zahlen gleichbleiben. Oder kann man die 3 hier auch als [mm] 3x^0 [/mm] anschaun?
Wäre ebenfalls dankbar für Hilfe.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Mehmet |
Hallo,
Also wie du schon weißt gibt es zwei Arten von Symmetrien.
Die y-Achsensymmetrie: f(x)=f(-x)
Das heißt: Du hast deine Funktion und willst schauen ob diese symmetrisch zur y- Achse ist. Nun gehst du wie folgt vor: du setzt für jedes x das du in deiner Funktion hast (-x) ein. Konstante Summanden bleiben dabei unberührt:
[mm] f(x)=x^{4}+x^{2}+a. [/mm] a ist der konstante Summand.
[mm] f(-x)=(-x)^{4}+(-x)^{2}+a=f(x) \Rightarrow [/mm] y- Achsensymmetrie nachgeweist.Wie gesagt du betrachtest du deine Ausdrücke mit x.
Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung wird so verfahren.
Die Bedingung für diese Symmetrie ist:
f(x)=-f(-x)
D.h. du setzt für jedes x --- (-x) ein und multiplizierst das GANZE mit (-1).
Beispiel:
[mm] f(x)=x^{3}+x^{1}+a
[/mm]
[mm] -f(-x)=-1((-x)^{3}+(-x)^{1}+a)=x^{3}+x-a \Rightarrow [/mm] keine Symmetrie zum Ursprung da es ungleich f(x) ist.
Bei dieser Symmetrie musst du nachdem du für x -- (-x) eingesetzt hast JEDEN Summanden mit (-1) multipliziert, d.h. auch konstante Summanden ohne einen Ausdruck mit x.
Gruß Mehmet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Disap |
> HI,
> ich hätte bezüglich diesem Thema auch nochmal eine Frage.
>
> Funktion: f(x) = [mm]x^3+2x+3[/mm]
>
> f(x) = f(-x) oder gerade Hochzahlen =
> achsensymmetrisch
> -f(x) = f(-x) oder ungerade Hochzahlen =
> punktsymmetrisch
> gerade + ungerade Hochzahlen = keine Aussage möglich
>
> ich hoffe soweit stimmt alles.
>
> Nun zu meiner Frage wenn ich die Funktion f auf Symmetrie
> überprüfen will, wie muss ich dann vorgehen, wenn ich es
> nicht an den Hochzahlen ablesen will?
>
> Ansatz Versuch:
> Achsensymmetrisch:
> [mm]x^3+2x+3[/mm] = [mm](-x)^3[/mm] + 2(-x) + 3 !! oder wird
> die 3 zu -3 ?
> [mm]x^3[/mm] + 2x + 3 = [mm]-x^3[/mm] -2x +3 d.h. nicht Achsensymmetrisch.
>
> Punktsymmetrisch:
> [mm](-x)^3[/mm] + 2(-x) + 3 = - [mm](x^3+2x+3)[/mm]
> [mm]-x^3[/mm] -2x +3 = [mm]-x^3-2x[/mm] -3 ... wäre auch keine Aussage
> möglich, da ich aber weiß, es sind nur ungerade Hochzahlen
> muss es Punktsymmetrisch sein.
>
> Meine Frage bezieht sich eigentlich nur auf die 3 ...
> Ich verstehe f(-x) so, dass alle x zu -x werden, aber
> normale Zahlen gleichbleiben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oder kann man die 3 hier auch
> als [mm]3x^0[/mm] anschaun?
>
Ja, kann man machen. das [mm] x^0 [/mm] ist ja so viel wie 1.
Das heißt jetzt aber nicht, dass du du aus dem
[mm] x^0 [/mm]
zu
[mm] -x^0 [/mm] machen darfst.
Den Beweis dafür, dass f(x) = 2x+0 Punktsymmetrisch ist und
g(x) = 2x+1 nicht mehr Punktsymmetrisch ist, kann ich dir nicht beweisen.
Entweder halt nach dem Verfahren -f(x) = f(-x) oder an den ungeraden Exponenten (darf dann aber nicht auf der Y-Achse verschoben sein, in g(x) wäre das die +1). Hast'e ja auch schon richtig erkannt.
> Wäre ebenfalls dankbar für Hilfe.
>
> MfG
Grüße Disap
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