Symmetrie bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 So 19.09.2010 | | Autor: | JimK |
| Aufgabe | Welche der folgenden Polynome sind axial- bzw. punktsymmetrisch?
p(x)=x³-x²-x-2
Lösung des Professors:
p'(x)=3x²-2x-1
p"(x)=6x-2=0 [mm] \Rightarrow x_{0}=\bruch{1}{3}
[/mm]
p'(1/3)= [mm] -\bruch{4}{3}
[/mm]
p (1/3)= [mm] -\bruch{65}{27}
[/mm]
--> ist punktsymmetrisch: Spiegelpunkt [mm] Ps=(\bruch{1}{3};-\bruch{65}{27})
[/mm]
umordnen: [mm] p(x)=-\bruch{65}{27}-\bruch{4}{3}*(x-\bruch{1}{3})+(x-\bruch{1}{3})³ [/mm] |
Hallo,
ich komm einfach nicht drauf, wie er auf die Umordnung kommt. Kann mir jemand Helfen?
Hab auch schon andere Lösungswege versucht, aber irgendwie funktionieren die nicht. Hab in einem Buch auch noch folgenden Lösungsansatz gelesen:
Durch die Ableitungen den Wendepunkt ermittel. Dann [mm] u=x+\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] v=y-\bruch{65}{27}. [/mm] Die Gleichungen nach x und y umstellen und einfügen. Komme mit diesem Ansatz auf [mm] v(u)=u³-2u²-\bruch{38}{9} [/mm] und kann keine Symmetrie herauslesen.
Würde gern die Methode des Professors verstehen, da er anhand von Gerade und Ungerade die Symmetrie mit seiner Umordnung herauslesen kann.
Vielen Dank
JimK
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welche der folgenden Polynome sind axial- bzw.
> punktsymmetrisch?
>
> p(x)=x³-x²-x-2
>
> Lösung des Professors:
> p'(x)=3x²-2x-1
> p"(x)=6x-2=0 [mm]\Rightarrow x_{0}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> p'(1/3)= [mm]-\bruch{4}{3}[/mm]
> p (1/3)= [mm]-\bruch{65}{27}[/mm]
>
> --> ist punktsymmetrisch: Spiegelpunkt
> [mm]Ps=(\bruch{1}{3};-\bruch{65}{27})[/mm]
> umordnen:
> [mm]p(x)=-\bruch{65}{27}-\bruch{4}{3}*(x-\bruch{1}{3})+(x-\bruch{1}{3})³[/mm]
> Hallo,
>
> ich komm einfach nicht drauf, wie er auf die Umordnung
> kommt. Kann mir jemand Helfen?
Hallo,
ich denke mal, daß Ihr im Unterricht besprochen habt, daß jede kubische Parabel punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist.
Deine Funktion p ist also punktsymmetrisch zu [mm] P(\bruch{1}{3}|-\bruch{65}{27}.
[/mm]
Es handelt sich also um ein Polynom 3.Grades mit nur ungeraden Potenzen, welches um [mm] \bruch{1}{3} [/mm] nach rechts und um [mm] \bruch{65}{27} [/mm] nach unten verschoben würde.
(Dies folgt der Erkenntnis, daß genau die Polynome, die symmetrisch zum Ursprung sind, nur ungerade Potenzen haben)
Also ist [mm] p(x)=x^3-x^2-x+2=(x-\bruch{1}{3})^3 [/mm] + [mm] a*(x-\bruch{1}{3})- \bruch{65}{27},
[/mm]
und das einzige, was man noch tun muß, ist das Feststellen des Koeffizienten a.
Das kann man tun, indem man in der "neuen" Darstellung mal alle Vielfachen von x sammelt: [mm] \underbrace{3*\bruch{1}{9}x}_{1.Klammer}+\underbrace{ax}_{2.Klammer}.
[/mm]
Dies muß, damit rechte und linke Seite übereinstimmen, =-x sein.
Also hat man
[mm] 3*\bruch{1}{9}+a=-1 [/mm] ==> [mm] a=-\bruch{4}{3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Hab auch schon andere Lösungswege versucht, aber
> irgendwie funktionieren die nicht. Hab in einem Buch auch
> noch folgenden Lösungsansatz gelesen:
>
> Durch die Ableitungen den Wendepunkt ermittel. Dann
> [mm]u=x+\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]v=y-\bruch{65}{27}.[/mm] Die Gleichungen
> nach x und y umstellen und einfügen. Komme mit diesem
> Ansatz auf [mm]v(u)=u³-2u²-\bruch{38}{9}[/mm] und kann keine
> Symmetrie herauslesen.
> Würde gern die Methode des Professors verstehen, da er
> anhand von Gerade und Ungerade die Symmetrie mit seiner
> Umordnung herauslesen kann.
>
> Vielen Dank
> JimK
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 19.09.2010 | | Autor: | JimK |
| Aufgabe | | [mm] p(x)=2x^{5}+10x^{4}+17x^{3}+11x^{2}+2x-3 [/mm] |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ok, also ich weiß, dass kubische Polynome immer punktsymmetrisch sind und demnach ordne ich einfach das neu Polynom?
Wie sieht es aber dann bei einem Polynom 5.Grades aus, wo ich nicht gleich von anfang an die Symmetrie weiß?
Mein Professor rechnet hier wieder [mm] x_{0} [/mm] und damit y aus für die Koordinatentransformation.
Sein Ergebnis lautet: punktsymmetrisch [mm] \Rightarrow [/mm] Symmetriepunkt: [mm] P_{5}=\vektor{-1 \\ -3}
[/mm]
umordnenp [mm] p(x)=-3+(x+1)-3(x+1)^{3}+2(x+1)^{5}
[/mm]
Ich hoffe, ich stelle mich dabei nicht zu doof an, aber ich möchte das echt gern mal verstehen. ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 So 19.09.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]p(x)=2x^{5}+10x^{4}+17x^{3}+11x^{2}+2x-3[/mm]
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Ok, also ich weiß, dass kubische Polynome immer
> punktsymmetrisch sind
> und demnach ordne ich einfach das neu
> Polynom?
> Wie sieht es aber dann bei einem Polynom 5.Grades aus, wo
> ich nicht gleich von anfang an die Symmetrie weiß?
> Mein Professor rechnet hier wieder [mm]x_{0}[/mm] und damit y aus
> für die Koordinatentransformation.
Hallo,
FALLS ein Polynom 5. Grades punktsymmetrisch ist, dass ist der mittlere der drei möglichen Wendepunkte der Symmetriepunkt.
Das heißt nicht, dass der mittlere Wendepunkt tatsächlich Symmetriepunkt ist, aber woanders braucht man gar nicht erst zu suchen.
Gruß Abakus
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> Sein Ergebnis lautet: punktsymmetrisch [mm]\Rightarrow[/mm]
> Symmetriepunkt: [mm]P_{5}=\vektor{-1 \\ -3}[/mm]
> umordnenp
> [mm]p(x)=-3+(x+1)-3(x+1)^{3}+2(x+1)^{5}[/mm]
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> Ich hoffe, ich stelle mich dabei nicht zu doof an, aber ich
> möchte das echt gern mal verstehen. ;)
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