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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 12.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hallo Leute
wir untersuchen gerade Funktionenscharen, allerdings habe ich festgestellt, dass ich eine Sache nicht verstanden habe. Es geht um den Punkt der Symetrie.
Wir haben uns folgendes aufgeschrieben.
f(-x) = f(x) dann ist es achsensymetrisch
f(-x) = -f(x) punktsymetrisch
jetzt hatten wir folgende Funktion
kx²-x+1 die haben wir auf Symetrie überprüft.
Das haben wir so gemacht:
f(-x)= kx²+x+1 das Ergebnis war b] nicht sym.[[/b]
Warum ist das für beide oben angegebene Punkte nicht symetrisch ? wir haben doch nur den ersten kontrolliert. Und muss ich da einfach immer nur vor das x ein - einsetzen ??
Wie wäre das bei dieser Funktion
x²+2kx+1 ?
wäre euch sehr dankbar, wenn mir das einer noch mal richtig erklären könnte.
gruß no idea
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo noidea,
Symmetrie kann man sich bildlich ja als eine Spiegelung vorstellen.
Wenn man sich jetzt die Parabel f(x) = [mm] x^2 [/mm] zur Hand nimmt, kann man sehen,
dass es egal ist, ob man x oder -x einsetzt, es kommt immer derselbe
Funktionswert heraus. Es handelt sich um eine y-Achsensymetrie.
x=2 f(2)=4
-x=-2 f(-2)=4
Nimmt man sich hingegen f(x) = x zur Hand, und setzt jeweils x bzw -x
ein, so stellt man fest, dass das Ergebnis sich nur durch ein Vorzeichen
unterscheidet, es liegt Symmetrie zum Ursprung vor:
x = 4 f(4) = 4
-x = -4 f(-4) = -4
Aber zum Nachweis der Symmetrie reicht es natürlich nicht es für ein Paar
von x und -x zu zeigen. Es muss für alle gelten.
Also, wählt man allgemein x:
und setzt sowohl x als auch -x ein und man stellt fest:
f(x) = f(-x) Achsensymmetrie
oder man setzt x als auch -x ein und man stellt fest
f(x) = -f(-x) sieht nicht so schön aus, also mit -1 multiplizieren:
-f(x) = f(-x) Symmetrie zum Ursprung
Und so habt ihr das auch gemacht:
f(x) = [mm] kx^2 [/mm] - x +1
f(-x) = [mm] k(-x)^2-(-x)+1 [/mm] = [mm] kx^2+x+1
[/mm]
f(x) [mm] \not= [/mm] f(-x)
Die beiden stimmen wohl nicht überein, d.h. es liegt keine Achsensymmetrie vor
-f(x) = [mm] -(kx^2-x+1) [/mm] = [mm] -kx^2+x-1
[/mm]
und auch -f(x) [mm] \not= [/mm] f(-x)
Also keine Symmetrie.
Bei deiner anderen Funktion genauso:
x²+2kx+1
1. -x einsetzen und f(-x) erhalten:
f(-x) = [mm] (-x)^2+2k(-x)+1 [/mm] = [mm] x^2-2kx+1
[/mm]
2. f(x) und f(-x) vergleichen
f(x) = [mm] x^2+2kx+^ \not= x^2-2kx+1 [/mm] --> keine y-Achsensymmetrie
3. -f(x) berechnen:
-f(x) = [mm] -(x^2+2kx+1)=-x^2-2kx-1
[/mm]
4. f(-x) und -f(x) vergleichen
f(-x) = [mm] x^2-2kx+1 \not= -x^2-2kx-1
[/mm]
Klar?
Gruß
marthasmith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 12.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hi marthasmith
vielen Dank für deine Antwort. Jetzt habe ich das verstanden. Das ist ja gar nicht schwer, wenn man es gut erklärt bekommt. Wünsch dir noch nen schönes Wochenende
gruß noidea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Sa 12.02.2005 | | Autor: | dominik |
Als Ergänzung zu marthasmith noch folgendes:
Alle ganzrationalen Funktionen, das heisst Funktionen, in deren Gleichung die Variable x im Nenner nicht vorkommt, haben die folgenden Symmetrien:
1. Symmetrie zur y-Achse, wenn die Exponenten von x ausschliesslich gerade sind und allenfalls eine Konstante vorkommt. Die Konstante muss aber nicht zwingend auftreten. Beispiele:
[mm]f(x)=3x^2-1[/mm]
[mm]g(x)=- \bruch{9}{10}x^4+ \bruch{3}{2}x^2+100[/mm]
[mm]h(x)= \bruch{7}{2}x^6+x^2[/mm]
Der Grund liegt darin, dass - wie es marthasmith gesagt hat - durch die geraden Exponenten das negative Vorzeichen von x wieder ausgeglichen wird. Das heist: wird für x zuerst eine positive Zahl eingesetzt, dann die gleiche Zahl, aber negativ, bleibt y gleich. Dies entspricht einer Spiegelung an der y-Achse:
[mm](-x)^{gerade\;Zahl}=x^{gerade\;Zahl}[/mm]
2. Symmetrie zum Nullpunkt des Koordinatensystems, wenn die Exponenten von x ausschliesslich ungerade sind und keine Konstante vorkommt. Beispiele:
[mm]f(x)=3x^5[/mm]
[mm]g(x)=- \bruch{9}{10}x^7+ \bruch{3}{2}x^3[/mm]
[mm]h(x)= \bruch{7}{2}x^3+x[/mm]
Der Grund liegt hier darin, dass durch die ungeraden Exponenten das negative Vorzeichen von x erhalten bleibt. Das heist: wird für x zuerst eine positive Zahl eingesetzt, dann die gleiche Zahl, aber negativ, wechselt y das Vorzeichen. Dies entspricht einer Spiegelung am Nullpunkt:
[mm](-x)^{ungerade\;Zahl}=-x^{ungerade\;Zahl}[/mm]
In den Bildern siehst du, dass bei der zur y-Achse symmetrischen Funktion für gleich grosse x-Werte, aber mit verschiedenen Vorzeichen, die y-Werte jeweils gleich sind.
[mm]f(x)=- \bruch{1}{4}x^4+x^2+3[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der zum Nullpunkt symmetrischen Funktion sind zwar die entsprechenden x-und y-Werte gleich gross, haben aber - beide - verschiedene Vorzeichen.
[mm]g(x)=- \bruch{1}{4}x^3+x[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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