Sym. Matrix Diagonalis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Diagonalisieren Sie die folgende Matrix mit simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen.
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & -4 \\ -3 & -4 & 8 } \in Mat(\IQ)
[/mm]
|
Hallo erstmal, ich bin neu hier im Forum bzw. hab sonst immer alle Infos hier bekommen was ein posting meinerseits unnötig machte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe mich in die simultanen Zeilen- und Spaltenumformungen durch gearbeitet. Bin aber nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe.
A -> [mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -3 & -4 & 8 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & 8 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3} } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Wollte fragen ob ich den Algorithmus verstanden habe oder ich dort Fehler gemacht habe.
Würde mich freuen wenn mal einer drüberhuschen könnte.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo,
diesen Algorithmus kenne ich nicht,
es ist jedoch 1 nicht Nullstelle meines charakteristischen Polynoms, was darauf hindeutet, daß bei Dir etwas schiefgelaufen ist. (Oder ich habe falsch gerechnet, was nicht ausgeschlossen werden kann.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
bin auch in der Vorlesung. Also du hast Recht mit den Eigenwerten, die sind
{-0,18754158264189444; 2,2295308673871093; 11,958010715254787} 
laut Eigenwert-Rechner im Internet. Ist es denn auch bei symmetrischen Matrizen so, dass die Diagonalmatrix die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen hat, dass man also genauso die Eigenwerte berechnen und in die Hauptdiagonale packen könnte (ist zwar nicht die Aufgabenstellung, aber ich meine rein theoretisch), ich hab nämlich mal irgendwo gelesen, dass das nur für eine passende ONB gilt.
Danke
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> bin auch in der Vorlesung. Also du hast Recht mit den
> Eigenwerten, die sind
> {-0,18754158264189444; 2,2295308673871093;
> 11,958010715254787}
> laut Eigenwert-Rechner im Internet.
Oh, vielen Dank!
Wo gibt's denn einen Eigenwert-Rechner?
Ist es denn auch bei
> symmetrischen Matrizen so, dass die Diagonalmatrix die
> Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen hat, dass man also
> genauso die Eigenwerte berechnen und in die Hauptdiagonale
> packen könnte (ist zwar nicht die Aufgabenstellung, aber
> ich meine rein theoretisch),
Ja, auf der Hauptdiagonalen stehen beim Diagonalisieren immer die Eigenwerte.
Bei symmetrischen nxn-Matrizen hat man die glückliche Situation, daß man jede diagonalisieren kann.
Das Diagonalisieren entspricht ja einer Basistransformation derart, daß man die Eigenvektoren als Basisvektoren wählt - und das funktioniert bei symmetrischen Matrizen, denn sie liefern eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] aus Eigenvektoren.
> ich hab nämlich mal irgendwo
> gelesen, dass das nur für eine passende ONB gilt.
Sogar eine ONB aus Eigenvektoren kann man bauen, wenn man es mit symmetrischen Matrizen zu tun hat, aber zum Diagonalisieren ist das gar nicht notwendig.
Allerdings liefert es die Möglichkeit, mit einer orthonormalen Matrix zu transformieren, wenn man möchte oder muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm
|
|
|
|
