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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Sylvesterscher Trägheitssatz
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Sylvesterscher Trägheitssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:08 Do 16.09.2004
Autor: Niels

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Servus.
Ich habe eine Frage zum Sylvesterschen Trägheitssatz.
Mir schwant der durch sie eindeitug bestimmte Index gibt die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte einschließlich geonetrischen Vielfachheit an.
Aber bedeutet die Anzahl der 0en etwas außer der Sache mit dem Rang?

Falls ich mit den Eigenwerten richtig liege, angenommen 0 wäre ein Eigenwert der geometrischen Vielfachheit 2. Steht dann dafür zwei mal eine 1 in der Sylvesterform auf der Diagonale.
Kann man eine Sylvesterform also durch bestimmen der Eigenwerte und deren Vielfachheit eindeutig angeben?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Gruß
Nils
        
Bezug
Sylvesterscher Trägheitssatz: (editiert!)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Do 16.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Niels!

>  Ich habe eine Frage zum Sylvesterschen Trägheitssatz.
>  Mir schwant der durch sie eindeitug bestimmte Index gibt
> die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte
> einschließlich geonetrischen Vielfachheit an.

[ok]

>  Aber bedeutet die Anzahl der 0en etwas außer der Sache mit
> dem Rang?

Genau das bedeutet es: Die Differenz der Dimension des unterliegenden Vektorraums und der Anzahl der 0en in der Sylvesterschen Normalform ist gerade der Rang der Matrix (bzw. die Dimension des größten isotropen Unterraumes von $V$ bezüglich der Bilinearform). Die Anzahl der $0$en ist (also) die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $0$.

> Falls ich mit den Eigenwerten richtig liege, angenommen 0
> wäre ein Eigenwert der geometrischen Vielfachheit 2. Steht
> dann dafür zwei mal eine 1 in der Sylvesterform auf der
> Diagonale.

Edit: Hatte mich verlesen! Nein, dann steht da zweimal eine [mm] $\red{0}$ [/mm]

>  Kann man eine Sylvesterform also durch bestimmen der
> Eigenwerte und deren Vielfachheit eindeutig angeben?

[ok]
  
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

  
Ich konnte deine Aussagen ja alle nur bestätigen (bis auf eine). ;-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Sylvesterscher Trägheitssatz: (editiert!)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 Do 16.09.2004
Autor: Niels

Vielen Dank.
Du hast mir sehr geholfen.

Grüße
Nils
Bezug
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