Sylowuntergruppe/Normalisator < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei H eine normale Untergruppe der endlichen Gruppe G, sei p eine Primzahl, die [G:H] nicht teilt, und sei P eine p-Sylowuntergruppe von G.
Zeigen sie:
a) P ist Untergruppe von H. Gilt dies auch für eine beliebige p-Gruppe von G?
b) Zeigen sie, dass [mm] G=H*N_G(P) [/mm] gilt. |
Hallo zusammen.
Komme leider bei dieser Aufgabe kein Stück weiter, weil ich nicht weiß was für Informationen mir die Vorraussetzungen bzgl des zu zeigenden liefern.
Ich weiß was ich für eine Untergruppe zu prüfen habe, Auch weiß ich, dass der Normalisator von P in G [mm] N_G(P)=\{g \in G; gPg^{-1}=P\} [/mm] ist. und das P Normalteiler in [mm] N_G(P) [/mm] ist, nämlich die größte U'Gruppe, in der P Normalteiler ist.
Leider weiß ich nicht wie ich das einsetzt muss, da ich aus den Vorraussetzungen nicht schlau werde. Da P p-Sylow von G, gilt doch [mm] |P|=p^m [/mm] für ein m [mm] \in \IN. [/mm] Also muss doch [mm] |G|=p^m*k [/mm] sein, für ein [mm] k\in \IN. [/mm] Jeodch p teilt nicht den Index [mm] [G:H]=\bruch{|G|}{|H|} [/mm] (was sagt mir das)?Brauche dringend Hilfe!
Hoffe auf euch
Liebe Grüße
die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 14.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> Sei H eine normale Untergruppe der endlichen Gruppe G, sei
> p eine Primzahl, die [G:H] nicht teilt, und sei P eine
> p-Sylowuntergruppe von G.
>
> Zeigen sie:
> a) P ist Untergruppe von H. Gilt dies auch für eine
> beliebige p-Gruppe von G?
Wegen der Teilereigenschaft gibt es in H eine p-Sylow-Gruppe P' von der gleichen Ordnung wie P, P' ist also auch in G eine p-Sylow-Gruppe. Nun sind alle p-Sylow-Gruppen konjugiert, und H ist normal, bleibt also als Ganzes invariant. Also liegen alle Konjugierten von P', wozu auch P gehört, in H. Da jede p-Gruppe in einer p-Sylow-Gruppe enthalten ist und alle p-Sylow-Gruppen in H liegen, gilt das auch für eine p-Gruppe.
> b) Zeigen sie, dass [mm]G=H*N_G(P)[/mm] gilt.
Hmm, das muß ich mir noch zurechtlegen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
> > Zeigen sie:
> > a) P ist Untergruppe von H. Gilt dies auch für eine
> > beliebige p-Gruppe von G?
>
> Wegen der Teilereigenschaft gibt es in H eine
> p-Sylow-Gruppe P' von der gleichen Ordnung wie P, P' ist
> also auch in G eine p-Sylow-Gruppe. Nun sind alle
> p-Sylow-Gruppen konjugiert, und H ist normal, bleibt also
> als Ganzes invariant. Also liegen alle Konjugierten von P',
> wozu auch P gehört, in H. Da jede p-Gruppe in einer
> p-Sylow-Gruppe enthalten ist und alle p-Sylow-Gruppen in H
> liegen, gilt das auch für eine p-Gruppe.
Tut mir leid, aber dass habe ich leider doch noch nicht so ganz verstanden!
Aufgrund welcher Teilereigenschaft?
warum existiert in H eine p-sylow P' der gleichen ordnung wie P?
Bin da leider doch noch nicht durchgestiegen!Sorry..
Hoffe auf nochmalige Unterstützung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Aufgrund welcher Teilereigenschaft?
> warum existiert in H eine p-sylow P' der gleichen ordnung
> wie P?
überlege dir, was du aufgrund von $p [mm] \nmid [/mm] [G:H]$ über die maximale $p$-potenz, welche $|H|$ teilt, aussagen kannst (insbesondere, wie diese im verhältnis zur maximalen $p$-potenz, welche $|G|$ teilt, aussieht).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
> überlege dir, was du aufgrund von [mm]p \nmid [G:H][/mm] über die
> maximale [mm]p[/mm]-potenz, welche [mm]|H|[/mm] teilt, aussagen kannst
> (insbesondere, wie diese im verhältnis zur maximalen
> [mm]p[/mm]-potenz, welche [mm]|G|[/mm] teilt, aussieht).
p [mm] \nmid [/mm] [G:H], aber da p |G| teilt [mm] \rightarrow [/mm] p teilt |H|, also besitzt auch H eine p-Sylow P' der ordnung p. stimmt das so?
Weiter weiß ich leider immernoch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> p [mm]\nmid[/mm] [G:H], aber da p |G| teilt [mm]\rightarrow[/mm] p teilt |H|,
> also besitzt auch H eine p-Sylow P' der ordnung p. stimmt
> das so?
warum sollte eine $p$-sylowgruppe genau $p$ elemente enthalten? schau' nochmal nach, wie ihr $p$-sylowgruppen definiert habt. wieviele elemente enthält etwa eine $2$-sylowgruppe der [mm] $S_4$?
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
ok ich glaube ich habs:
P ist p-Sylow von G also: [mm] |P|=p^m [/mm] für ein m [mm] \in \IN, [/mm] also muss [mm] |G|=p^m*q [/mm] sein für gleiches m [mm] \in \IN, [/mm] mit ggT(p,q)=1.
Da p [mm] \nmid[G:H] [/mm] muss gelten [mm] |H|=p^m [/mm] also existiert eine p-Sylow P' in H mit [mm] |P'|=p^m. [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> P ist p-Sylow von G also: [mm]|P|=p^m[/mm] für ein m [mm]\in \IN,[/mm] also
> muss [mm]|G|=p^m*q[/mm] sein für gleiches m [mm]\in \IN,[/mm] mit
> ggT(p,q)=1.
genau.
> Da p [mm]\nmid[G:H][/mm] muss gelten [mm]|H|=p^m[/mm] also existiert eine
> p-Sylow P' in H mit [mm]|P'|=p^m.[/mm] richtig?
es kann durchaus $|H| = [mm] p^m \cdot [/mm] k$ mit [mm] $\textrm{ggT}(p, [/mm] k) = 1$ gelten. du kannst vielleicht noch mit einer gleichung, welche $|G|$, $|H|$ und $[G:H]$ in verbindung bringt, etwas genauer begründen warum du so schließt. aber im prinzip ist das genau das richtige vorgehen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
es gilt: [mm] |G|=p^m*q [/mm] sowie |G|=|H|*[G:H], da jetzt aber [mm] p\nmid[G:H], [/mm] pjedoch mit sicherheit [mm] p^m [/mm] teilt muss gelten dass [G:H]=q und [mm] |H|=p^m [/mm] ist.
das ist doch die richtige begründung oder?
Das habe ich jetzt hoffentlich verstanden.
aber wie gehts jetzt weiter?
kannst du nochmal helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> es gilt: [mm]|G|=p^m*q[/mm] sowie |G|=|H|*[G:H], da jetzt aber
> [mm]p\nmid[G:H],[/mm] pjedoch mit sicherheit [mm]p^m[/mm] teilt muss gelten
> dass [G:H]=q und [mm]|H|=p^m[/mm] ist.
wie gesagt, es kann auch $|H| = [mm] p^m \cdot [/mm] q'$ mit $q' | q$ gelten.
> aber wie gehts jetzt weiter?
einfach in die erste antwort von statler schauen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 14.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei H eine normale Untergruppe der endlichen Gruppe G, sei
> p eine Primzahl, die [G:H] nicht teilt, und sei P eine
> p-Sylowuntergruppe von G.
>
> Zeigen sie:
> a) P ist Untergruppe von H. Gilt dies auch für eine
> beliebige p-Gruppe von G?
> b) Zeigen sie, dass [mm]G=H*N_G(P)[/mm] gilt.
das zweite ist das sogenannte "frattini-argument": sei $g [mm] \in [/mm] G$, dann ist [mm] $P^g \leq H^g [/mm] = H$, also ist auch [mm] $P^g$ [/mm] eine $p$-sylowgruppe von $H$. nach dem sylowsatz gibt es also ein $h [mm] \in [/mm] H$ mit [mm] $P^h [/mm] = [mm] P^g$, [/mm] folglich $P = [mm] P^{gh^{-1}}$, [/mm] also [mm] $gh^{-1} \in \textrm{N}_G(P)$. [/mm] insgesamt $g = [mm] (gh^{-1})h \in \textrm{N}_G(P) \cdot [/mm] H$.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Fr 14.11.2008 | | Autor: | kittie |
Vielen Dank Ihr zwei, ich glaube ich habe das jetzt verstanden!
Super Hilfe!Danke vielmals!
Schönes Wochenende!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
hallo hab da doch noch eine Frage:
> das zweite ist das sogenannte "frattini-argument": sei [mm]g \in G[/mm],
> dann ist [mm]P^g \leq H^g = H[/mm], also ist auch [mm]P^g[/mm] eine
> [mm]p[/mm]-sylowgruppe von [mm]H[/mm]. nach dem sylowsatz gibt es also ein [mm]h \in H[/mm]
> mit [mm]P^h = P^g[/mm], folglich [mm]P = P^{gh^{-1}}[/mm], also [mm]gh^{-1} \in \textrm{N}_G(P)[/mm].
> insgesamt [mm]g = (gh^{-1})h \in \textrm{N}_G(P) \cdot H[/mm].
was hießt denn [mm] P^g [/mm] und [mm] H^g [/mm] etc.???Habe das noch nie gesehen?
Wäre super, wenn sich jemand melden könnte!
viele grüße, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> was hießt denn [mm]P^g[/mm] und [mm]H^g[/mm] etc.???Habe das noch nie
> gesehen?
in der regel bezeichnet man mit [mm] $H^g [/mm] := [mm] g^{-1}Hg$ [/mm] die konjugation mit $g$.
wenn dir die schreibweise noch nie begegnet ist, schreibe meine argumente einfach in einer dir bekannten schreibweise auf, und schaue, ob du sie dann nachvollziehen kannst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
ok jetzt habe ich das verstanden und nachvollziehen können, aber damit habe ich doch jetzt nur gezeigt, dass gilt: [mm] G\subset H*N_G(P). [/mm] oder?
Was ist mit [mm] G\supset H*N_G(P)??
[/mm]
Kannst du nochmal helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Was ist mit [mm]G\supset H*N_G(P)??[/mm]
kann denn etwas wie [mm]H*N_G(P) \not\subseteq G[/mm] passieren?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 15.11.2008 | | Autor: | kittie |
ja nein, oh gott ich war wohl verwirrt, denn H ist untergruppe von G und [mm] N_G(P) [/mm] enthält ja auch nur Elemente aus G, und G ist ne gruppe!
sry, war ne dumme Frage! Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> ja nein, oh gott ich war wohl verwirrt, denn H ist
> untergruppe von G und [mm]N_G(P)[/mm] enthält ja auch nur Elemente
> aus G, und G ist ne gruppe!
genau 
grüße
andreas
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