Surjektivität zeigen < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:02 Di 25.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei A eine endliche abelsche Gruppe und [mm] \hat{A} [/mm] die zugehörige duale Gruppe, d.h. die Menge aller Charaktere von A.
Weiter seien [mm] l^2(A) [/mm] und [mm] l^2(\hat{A}) [/mm] zwei Hilberträume, die mit [mm] \IC^{A} [/mm] bzw. [mm] \IC^{\hat{A}} [/mm] übereinstimmen.
Zudem gilt: [mm] \langle{g},h\rangle=\langle{\hat{g}},\hat{h}\rangle [/mm] für alle [mm] g,h\in{l^2(A)}.
[/mm]
Sei nun [mm] \Phi:l^2(A)\rightarrow{l^2(\hat{A})} [/mm] mit [mm] f\mapsto{\hat{f}} [/mm] ein Homomorphismus.
Weisen Sie die Injektivität und Surjektivität des Homomorphismus nach.
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Tag Leute,
obige Aufgabe ist eigentlich ein Teil eines Beweises, den ich versuche zu verstehen. Naja also ich leg mal los.
Injektivität:
Es handelt sich bei [mm] \Phi [/mm] um eine Isometrie, denn es gilt: [mm] ||\Phi(f)||^2=<\Phi(f),\Phi(f)>=<\hat{f},\hat{f}>==||f||^2
[/mm]
Damit ist insbesondere [mm] Kern(\Phi)={0} [/mm] und somit [mm] \Phi [/mm] injektiv.
Surjektivität:
Hierbei hab ich von fred97 bereits den Tipp bekommen ich solle die inverse Fourier-Transformation verwenden.
Ich weiß allerdings nicht so recht, was man darunter versteht geschweige denn wie ich damit die Surjektivität nachrechnen kann.
Es wär also echt toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte und etwas Licht ins Dunkel bringt.
Besten Dank schon mal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hat denn wirklich keiner ne Idee wie ich hierbei die Surjektivität nachrechnen kann?? Wär echt toll, wenn mir jemand zumindest an Tipp hätte wie ich vorzugehen hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du google ? Bestimmt ! Dann gib mal ein
"inverse Fourier-Transformation "
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:16 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey fred, klar kenn ich google :).
Ich hab da nur nich ganz das gefunden, was ich suche d.h. die Sache mit der Surjektivität.
Ich muss doch für jedes [mm] \hat{f}\in{l^2(\hat{A})} [/mm] genau ein Element [mm] g\in{l^2(A)} [/mm] finden, sodass [mm] \Phi(g)=\hat{f}.
[/mm]
Soweit so gut! Kann ich nun als g einfach die inverse Fourier-Transformierte von [mm] \hat{f} [/mm] nehmen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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