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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Surjektivität/Injektivität
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Surjektivität/Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Mi 28.09.2005
Autor: mykola

Hallo,

hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen kann?

Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann ist g injektiv.
2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann ist f surjektiv.

Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt a=a'; b,b' [mm] \in [/mm] B, a,a' [mm] \in [/mm] A
Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für alle b,b' [mm] \in [/mm] B?

Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich sie?

Vielen Dank im voraus.

mykola

Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Surjektivität/Injektivität: So z. B. für 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mi 28.09.2005
Autor: statler

Auch hallo!

> hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen
> kann?
>  
> Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
>  1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann
> ist g injektiv.
>  2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann
> ist f surjektiv.
>  
> Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt

Weil f surj ist, gibt es a und a' mit f(a) = b und f(a') = b'. Dann ist g(f(a)) = g(b) = g(f(a')). Weil g°f inj ist, ist a = a'. Aber dann ist auch f(a) = f(a'), was zu beweisen war.

> a=a'; b,b' [mm]\in[/mm] B, a,a' [mm]\in[/mm] A
>  Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für
> alle b,b' [mm]\in[/mm] B?
>  
> Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze
> Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von
> g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der
> ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
>  Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich
> sie?

>
Hier habe ich mich im Moment noch verheddert....
  
Gruß aus HH-Harburg, bis später vielleicht
Dieter


Bezug
        
Bezug
Surjektivität/Injektivität: Und so für 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mi 28.09.2005
Autor: statler


> Hallo,
>  
> hat jemand eine Idee, die man die folgenden Aufgaben lösen
> kann?
>  
> Seien f: A-->B und g: B-->C Abbildungen.
>  1) Wenn g°f injektiv ist, und wenn f surjektiv ist, dann
> ist g injektiv.
>  2) Wenn g°f surjektiv ist, und wenn g injektiv ist, dann
> ist f surjektiv.
>  
> Zu (1): Sei g(b)=g(b'), dann, weil g°f injektiv ist, folgt
> a=a'; b,b' [mm]\in[/mm] B, a,a' [mm]\in[/mm] A
>  Wie mache ich nächsten Schritt und beweise, dass b=b' für
> alle b,b' [mm]\in[/mm] B?
>  
> Zu (2): Wegen der Surjektivität von g°f liegt der ganze
> Wertebereich C im Bild von g°f. Wegen der Infektivität von
> g hat jeder c genau ein Urbild. Das bedeutet, dass der
> ganze Wertebereich B im Bild von f liegt.
>  Ist diese Gedankenfolge richtig und wie formalisiere ich
> sie?
>  

Sei b [mm] \varepsilon [/mm] B beliebig mit g(b) = c. Sei a  [mm] \varepsilon [/mm] A mit (g°f)(a) = c, das geht wg g°f surj. D. h. g(f(a)) = c.
Wegen g inj folgt b = f(a) qed


Gruß
Dieter


Bezug
                
Bezug
Surjektivität/Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Mi 28.09.2005
Autor: mykola

Hallo Dieter,
Danke vielmals für Deine Antworten und Deine Mühe.
Der Beweisweg ist mir jetzt absolut klar.
Für einen Anfänger wie ich war das eine relativ schwere Aufgabe.
mykola

Bezug
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