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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 27.10.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm]D \subset \IR, f: D \to \IR[/mm] und [mm]\otimes \in \{+,*\} [/mm] eine beliebige Verknüpfung.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) [mm] f, g [/mm] injektiv [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] f \otimes g [/mm] injektiv
(b)[mm] f, g [/mm] surjektiv [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] f \otimes g [/mm] surjektiv |
Ich bin plötzlich ganz unsicher. Eigentlich wollte ich die Aufgabe nur "ins Reine schreiben" doch dann kamen mir plötzlich Zweifel...
(a) Nein. Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=x[/mm] und [mm]g(x)=2x[/mm] und [mm]f \otimes g= 2x^2[/mm]
und dann gibts für jedes y zwei Lösungen.
(b) Wollte ich ursprünglich auch mit den Funktionen widerlegen ABER:
muss ich da Rücksicht auf den Wertebereich von [mm]f \otimes g[/mm] nehmen? Ich wollte ursprünglich mit einem Gegenbeispiel (x negativ) widerlegen, aber die sind ja nicht im Wertebereich von [mm]f \otimes g[/mm]. Ist das damit jetzt bewiesen oder darf man nur zulässige Werte auch einsetzen?
Ich bin irgendwie total verunsichert...
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Hallo ella87,
> Seien [mm]D \subset \IR, f: D \to \IR[/mm] und [mm]\otimes \in \{+,*\}[/mm]
> eine beliebige Verknüpfung.
> Beweisen oder widerlegen Sie:
>
> (a) [mm]f, g[/mm] injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f \otimes g[/mm] injektiv
>
> (b)[mm] f, g[/mm] surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f \otimes g[/mm] surjektiv
> Ich bin plötzlich ganz unsicher. Eigentlich wollte ich
> die Aufgabe nur "ins Reine schreiben" doch dann kamen mir
> plötzlich Zweifel...
>
> (a) Nein. Gegenbeispiel:
> [mm]f(x)=x[/mm] und [mm]g(x)=2x[/mm] und [mm]f \otimes g= 2x^2[/mm]
> und
> dann gibts für jedes y zwei Lösungen.
Hmm, das hängt doch vom Definitionsbereich [mm]D[/mm] ab, für [mm]D=\IR^+[/mm] ist das kein Gegenbsp.
Du solltest es angeben: [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto x[/mm] und [mm]g:\IR\to\IR,x\mapsto 2x[/mm]
Dann passt es, gib ein konkretes Beispiel (y=...) an, wo die Sujk. kaputt geht.
>
> (b) Wollte ich ursprünglich auch mit den Funktionen
> widerlegen ABER:
> muss ich da Rücksicht auf den Wertebereich von [mm]f \otimes g[/mm]
> nehmen? Ich wollte ursprünglich mit einem Gegenbeispiel (x
> negativ) widerlegen, aber die sind ja nicht im Wertebereich
> von [mm]f \otimes g[/mm]. Ist das damit jetzt bewiesen oder darf man
> nur zulässige Werte auch einsetzen?
Ich weiß nicht genau, was du meinst, du musst auf passenden Def.bereich achten.
Nimm doch wie geplant: [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto x[/mm] (bijektiv)
und [mm]g:\IR\to\IR,x\mapsto -x[/mm] (bijekt.)
Dann ist [mm](f+g):\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] (weder inj. noch surj.)
> Ich bin irgendwie total verunsichert...
Gruß
schachuzipus
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