Surjektiv, injektiv < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei S eine endliche Menge, und F : S [mm] \to [/mm] S eine Abbildung. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn f surjektiv ist.
Zeigen Sie, daß die Annahme der Endlichkeit von S wesentlich ist. |
Ich habe diese Frage ín keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich hab ein Problem bei der oben stehenden Aufgabe. Ich bekomme den Ansatz nicht hin.
Mein Gedanke ist folgender:
f ist injektiv, wenn aus der Gleichheit der Funktionswerte die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt.
Surjektivität :jedes Element von f(x) ist mindestens einmal als Funktionswert angenommen, also hat mindestens ein Urbild.
Aber wie mache ich den Beweis und warum folgt das eine auf das andere?
Ich bin hier überfordert, verstehe auch nicht wieso das für die Endlichkeit relevant ist!
Bitte helft mir! Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei S eine endliche Menge, und F : S [mm]\to[/mm] S eine Abbildung.
> Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn f surjektiv
> ist.
> Zeigen Sie, daß die Annahme der Endlichkeit von S
> wesentlich ist.
> Ich habe diese Frage ín keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich hab ein Problem bei der oben stehenden Aufgabe. Ich
> bekomme den Ansatz nicht hin.
>
> Mein Gedanke ist folgender:
>
> f ist injektiv, wenn aus der Gleichheit der Funktionswerte
> die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte
> folgt.
O.K.
>
> Surjektivität :jedes Element von f(x) ist mindestens einmal
> als Funktionswert angenommen, also hat mindestens ein
> Urbild.
Unsinn !!!
Eine Funktion f:A-->B heißt surjektiv [mm] \gdw [/mm] zu jedem b [mm] \in [/mm] B gibt es ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a) = b [mm] \gdw [/mm] f(A) = B
>
> Aber wie mache ich den Beweis und warum folgt das eine auf
> das andere?
Es ist f(S) [mm] \subseteq [/mm] S. Nehmen wir an, S habe n Elemente. Wenn f injektiv ist, wieviele Elemente hat dann f(S) ? Jawoll, es hat wieder n Elemente. Kann dann f(S) eine echte Teilmenge von S sein ? Nö, natürlich nicht. FAZIT: f(S) = S.
>
> Ich bin hier überfordert, verstehe auch nicht wieso das für
> die Endlichkeit relevant ist!
Sei z.B. S = [mm] \IN [/mm] und f(s) = 2s. Dann ist f injektiv, aber nicht surjektiv
FRED
>
> Bitte helft mir! Danke!!
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