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| Aufgabe | 1. Die Abbildung f: A -> B besitze eine Umkehrabbildung g: B -> A, es gilt also (f ° g) = 1(B) und (g°f) = 1(A). Zeigen Sie, dass f bijektiv is.
2. Es seien M, N zwei nichtleere Mengen. Beweise Sie folgende Aussagen:
a) Zu jeder surjektiven Abbildung g: N ->-> M existiert eine injektive Abbildung f: M -> N, so dass (g°f) = 1(M).
b) Zu jeder injektiven Abbildung f: M -> N existiert eine surjektive Abbildung g : N ->-> M, so dass (g ° f) = 1(M) |
Hallo zusammen,
ich habe jetzt schon überall im Internet nach Erklärungen gesucht, die mir nahebringen sollen, wie man eine solche Aufgabe löst. Doch überall wo ich geschaut habe waren die Erklärungen wohl zu mathematisch für mich, sodass ich nichts verstanden hab. Die Definition von surjektiv, injektiv und diesem Zeichen ° ist mir irgendwie auch nicht richtig klar geworden :-( wir schreiben wohl bald einen Test über das Thema, und ich verstehe das absolut nicht, obwohl ich mir das ganze schon stundenlang angeschaut hab.
Ich hoffe es gibt hier jemanden, der mir das da näherbringen kann :-P jemandem, dessen mathematisches Verständnis nicht gerade auf dem Top-Level ist... ^^
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
du hast einige Kriterien, um Funktionen als surjektiv, injektiv oder bijektiv einzustufen. Surjektiv: Der gesamte Wertebereich kann als Funktionswert des Definitionsbereiches dargestellt werden.
Injektiv: Durch die Abbildung f wird jedem Element aus dem Definitionsbereichein Wert zugeordnet, sodass aus [mm] a\not=b [/mm] folgt, dass [mm] f(a)\not=f(b)
[/mm]
Bijektiv: Die Abbildung f ist sowohl injektiv als auch bijektiv.
(eine Abbildung ist eine Zuordnungsvorschrift, die Elementen der Definitionsmenge A genau ein Element der Wertemenge B zuordnet, einer Zahl eine Zahl, einem Tier einen Namen, usw.).
f°g bedeutet einfach, dass f auf g angewendet wird. Also man hat f(x) und g(x), wobei x jetzt ein beliebiger Platzhalter für etwas ist, was bei f und g nicht einmal miteinander vergleichbar sein muss(!) und deswegen weggelassen wird: man schreibt Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B.
Also heißt (f°g)(x) lediglich f(g(x)).
Nun weiß ich aber nicht, was 1(A) bedeuten soll. 1 ist für gewöhnlich das neutrale Element in irgendeiner Menge (also auch nicht immer die Zahl 1).
Hier scheint das ursprüngliche Element der Menge A gemeint zu sein, sprich bei f(g(x)) ist 1(A)=x gemeint und x [mm] \in [/mm] A.
Nun musst du zeigen, dass die Existenz einer Umkehrabbildung bedeutet, dass die Abbildung selbst notwendigerweise bijektiv (Eigenschaften von oben) sein muss. Das kann sich trivial und unmathematisch anhören (sollte es aber nicht, wie du weißt)
Bei 2. sollst du zeigen, dass man stets Abbildungen mit genannten Eigenschaften finden kann (Voraussetzungen für jeden Schritt nennen und sagen, warum sie erfüllt sind).
lg
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> 1. Die Abbildung f: A -> B besitze eine Umkehrabbildung g:
> B -> A, es gilt also (f ° g) = 1(B) und (g°f) = 1(A).
> Zeigen Sie, dass f bijektiv is.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mal als kleine Hilfe zum Einstieg:
wir haben hier also eine Funktion f: A [mm] \to [/mm] B, eine Funktion also, die aus der Menge A in die Menge B abbildet.
Wie sie das genau tut, also die Funktionsvorschrift, kennen wir nicht.
Wir wissen aber, daß die Funktion eine Umkehrfünktion g: [mm] B\to [/mm] A hat, dh.
es gibt ein Funktion g: [mm] B\to [/mm] A mit
[mm] g\circ f=1_A,
[/mm]
dh g(f(a))=a für alle [mm] a\in [/mm] A,
und
[mm] f\circ g=1_B,
[/mm]
dh. f(g(b))=b für alle [mm] b\in [/mm] B.
Und nun sollst Du zeigen:
wenn dies gilt, dann ist f bijektiv, also injektiv und surjektiv.
i: zur Injektivität
Zu zeigen ist, hier, daß nicht zwei verscheidene Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden.
Also ist zu zeigen:
[mm] f(a_1)=f(a_2) [/mm] ==> [mm] a_1=a_2.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] f(a_1)=f(a_2) [/mm] ==> ???
Wende mal die Funktion g auf obiges an und ziehe Deine Schlüsse.
ii: zur Surjektivität:
Zu zeigen ist, daß es für jedes Element aus B ein passendes Element aus A gibt, welches hierauf abgebildet wird.
Zu [mm] b\in [/mm] B mußt Du also ein [mm] a\in [/mm] A finden mit
f(a)=b.
Schau mal an, welches Element nach Voraussetzung von [mm] f\circ [/mm] g auf b abgebildet wird.
Das sollte Dich auf Ideen bringen, wie Du Dein a definieren kannst.
Gruß v. Angela
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