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Z.z.: Seien A,B [mm] \in [/mm] R und nichtleer. Dann gilt: [mm] sup{a+b:a\in A, b\in B}=sup(A)+sup(B)
[/mm]
Dass sup(A) + sup(B) obere Schranke der Menge ist, ear nicht schwer zu zeigen. Unter der Annahme, dass sup(A) + sup(B) nicht die kleinste obere Schranke ist würde gelten:
Es gibt ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit
[mm] a+b\le sup(A)+sup(B)-\varepsilon [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B
[mm] \Rightarrow a+b\le sup(A)-\bruch{\varepsilon}{2}+sup(B)-\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B gilt:
[mm] a\le sup(A)-\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \vee a\le sup(B)-\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \vee b\le sup(A)-\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \vee b\le sup(B)-\bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber leider nicht weiter... wenn da oben z.B. stände [mm] \Rightarrow [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] A gilt [mm] a\le sup(A)-\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] dann wäre das natürlich ein Widerspruch, weil dann sup(A) keine kleinste obere Schranke wäre...
jemand eine Idee?
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Hallo Hermann,
deine Aussagen gelten ja für alle a [mm] \in [/mm] A und alle b [mm] \in [/mm] B. Wähle dir also zwei konkrete Werte aus, die zusammen größer sind als dein angenommenes Supremum sup(A) + sup(B) - [mm] \varepsilon.
[/mm]
Als weiterer Hinweis hilft dir vielleicht, dass du (am Beispiel von [mm] a_{1} \in [/mm] A) dir ein [mm] a_{1} [/mm] wählen kannst, das beliebig nahe an sup(A) liegt (im Extremfall könnte es ja sogar sup(A) selber sein, aber das brauchst du hier noch nicht mal).
Falls du noch einen genaueren Tipp brauchst, melde dich einfach nochmal  .
Übrigens brauchst du nur die Zeile
$ [mm] a+b\le sup(A)+sup(B)-\varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] a\in [/mm] $ A, $ [mm] b\in [/mm] $ B
und dann wählst du [mm] a_{1} [/mm] und [mm] b_{1} [/mm] geschickt und hast deinen Widerspruch.
Gruß,
Martin
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