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| Aufgabe | | Seien $A, B$ nach oben beschränkte, nicht leere Teilmengen von [mm] $\IR$. [/mm] Falls [mm] $A\subseteq [/mm] B$, so gilt [mm] $\sup A\le\sup [/mm] B$. |
Hallo, zusammen,
wollte mal nachfragen, ob meine Begründung so korrekt ist.
Falls $A=B$, so gilt natürlich [mm] $\sup A=\sup [/mm] B$, im Falle [mm] $A\subset [/mm] B$ ist entweder das größte Element von $B$ in $A$ enthalten (dann folgt [mm] $\sup A=\sup [/mm] B$), oder nicht (dann muss [mm] $\sup A<\sup [/mm] B$ folgen). Daraus folgt die Behauptung.
Vielen Dank,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Do 05.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja also für A=B ist die Behauptung ja tatsächlich trivial. Aber im anderen Fall kannst du nicht mit "dem maximalen Element" argumentieren, denn das muss ja nicht existieren (z.B. bei offenen beschränkten intervallen). Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke, falls so eine überhaupt existiert. Du musst also zeigen, dass [mm] $\sup [/mm] B$ eine obere Schranke von $A$ ist.
Gruß, Robert
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OK, [mm] $A\subseteq [/mm] B [mm] \gdw x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$. Das bedeutet, dass jede obere Schranke von $B$ auch obere Schranke von $A$ ist, insbesondere auch das [mm] $\sup [/mm] B$ ist obere Schranke von $A$.
Aber das reicht ja noch nicht, oder? Was kommt denn nun. Irgendwie fehlt mir grad die zündende Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Do 05.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> OK, [mm]A\subseteq B \gdw x\in A\Rightarrow x\in B[/mm]. Das
Vorsicht, es muss heißen [mm] $A\subset B\gdw \red{\left(}x\in A\Rightarrow x\in B\red{\right)}$...
[/mm]
> bedeutet, dass jede obere Schranke von [mm]B[/mm] auch obere
> Schranke von [mm]A[/mm] ist, insbesondere auch das [mm]\sup B[/mm] ist obere
> Schranke von [mm]A[/mm].
>
> Aber das reicht ja noch nicht, oder? Was kommt denn nun.
Doch. Du hast gezeigt [mm] $\sup [/mm] B$ ist eine obere schranke von $A$, also muss doch [mm] $\sup [/mm] A$, die kleinste untere Schranke von A, kleinergleich [mm] $\sup [/mm] B$ sein.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das sup einer Menge ist nicht unbedingt in der Menge enthalten. also es gilt nich [mm] supA\in [/mm] A
deshalb ist dein Argument noch falsch.
Am einfachsten ist du zeigst dass supA>sup B zu nem Widerspruch führt mit der Definition von supB und [mm] A\subset [/mm] B.
Gruss leduart
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Also dann:
Sei [mm] $\sup A>\sup [/mm] B,$ also ist [mm] $\sup [/mm] B:=C$ kleinste obere Schranke von B, also [mm] $\forall x\in B:x\le [/mm] C$.
Außerdem gilt [mm] $A\subseteq B\gdw x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$, demnach gilt auch [mm] $\forall x\in A:x\le [/mm] C$. Also ist [mm] $\sup [/mm] B$ auch obere Schranke von $A$. Daraus kann nicht folgen, dass [mm] $\sup [/mm] A$ größer als [mm] $\sup [/mm] B$ ist.
Ich hoffe, das ist so richtig?
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Warum indirekt, wenns auch direkt geht 
Dein anderer Ansatz ist schöner und günstiger... siehe pelzigs Antwort, da bist du auf dem richtigen Weg.
mFG,
Gono.
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