Supremum und Infimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Bestimme das Supremum und das Infimum der Mengen
>
> [mm]A:=\left\{\bruch {n^{2}+2}{n^{2}-4n+5n}|n\in\IN\right\}[/mm]
Ich denke mal da sollte im Nenner [mm] $n^2-4n\blue{+5}$ [/mm] stehen und nicht [mm] $n^2-4n+5\red{n}$? [/mm] Denn $-4n+5n=n$ 
> [mm]B:=\left\{n+(-1)^n*\left(n-\bruch{1}{n}\right)|n\in\IN\right\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Jetzt nun zu meinem waghalsigen Ansatz:
> Ich ahbe mir bei der Mege A den Grenzwert 1 überlegt
Uh, Du kennst und sprichst schon von Grenzwerten von Mengen?
Das meinst Du aber auch nicht, sondern Du meinst, dass man mit der Folge $(a_n)_n$ definiert durch $a_n:=\bruch {n^{2}+2}{n^{2}-4n+5$ ($n \in \IN$) dann schreiben kann
$$A=\{a_n| n \in \IN\}\,.$$
Und dass $a_n \to 1$ bei $n \to \infty\,.$
> und
> bei der B unendlich.
Analog mit $(b_n)_n$ definiert durch $b_n:=n+(-1)^n*\left(n-\bruch{1}{n}\right)\,,$ $n \in \IN\,.$
> Nun weiß ich immer noch nicht wie ich jetzt vorgehen soll
> um das Sup und Inf zu bestimmen
>
> Ich bin total am verzweifeln und bitte um eure Mithilfe.
> Danke im Voraus
Naja, generell solltest Du Dir mal ein paar Elemente der Menge $A$ und $B$ aufschreiben, um überhaupt ein Gespür dafür zu bekommen, was denn zu beweisen ist. Ich mache es bei der Menge $A$ nun mal ein wenig anders:
Ich betrachte mal die Funktion $f: \IR \to \IR$ mit $f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-4x+5}\,.$ Hier siehst Du den Graphen von $f$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schau' Dir mal den Verlauf des Graphen der Funktion an. Interessieren tut uns nur $x [mm] \in \IN\,$ [/mm] (ich hoffe, dass bei Euch auch $0 [mm] \notin \IN\,,$ [/mm] ansonsten ändert sich die Aussage für das Infimum von $A$).
Dann solltest Du sehen, dass die Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] wenn man sie auf [mm] $\IN$ [/mm] einschränkt, offensichtlich ihr Maximum für $x=2$ annimmt (d.h. es ist wohl [mm] $a_2$ [/mm] das Maximum von $A$).
Also zeige zunächst:
Für alle $a [mm] \in [/mm] A$ gilt $a [mm] \le a_2$ [/mm] und es ist [mm] $a_2 \in A\,.$ [/mm] (Das heißt nichts anderes, als dass [mm] $a_2$ [/mm] das Maximum der Menge $A$ ist. Was ist dann wohl das Supremum von $A$?)
Dabei solltest Du selbstverständlich [mm] $a_2$ [/mm] berechnen. Und hier könnte man, wenn man wollte, durchaus auch mit der "stückweisen Monotonie" der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] argumentieren, aber das muss man nicht. Du kannst durchaus anfangen mit:
Sei $a [mm] \in A\,.$ [/mm] Dann existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a=\bruch {n^{2}+2}{n^{2}-4n+5n}\,,$ [/mm] also [mm] $a=a_n\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $a_n \le a_2 \gdw \bruch {n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \le 6=a_2 \gdw [/mm] ...$
Wichtig ist nachher nur, dass Du die [mm] $\gdw$ [/mm] in Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] lesen kannst und rechts am Ende dieser letzten "Äquivalenzkette" eine (unter den gegebenen Voraussetzungen) währe Aussage steht.
Und ich behaupte mal (sofern $0 [mm] \notin \IN$), [/mm] dass hier [mm] $\text{inf} [/mm] A=1$ ist, aber $1 [mm] \notin [/mm] A$ (also das Infimum ist kein Minimum).
Du solltest nun also noch zeigen, dass $1$ eine untere Schranke für $A$ ist. Und unter Beachtung von [mm] $a_n \to [/mm] 1$ findest Du sicher auch heraus, dass das die größte untere Schranke ist. Damit wüßtest Du dann schon, dass $1$ die größte untere Schranke ist.
Ich bin mir nicht sicher, ob Du das noch benötigst, aber Du kannst Dir auch überlegen, dass $1$ kein Minimum ist. Wäre sie ein Minimum, so gäbe es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\bruch {N^{2}+2}{N^{2}-4N+5}=1\,.$ [/mm] Rechne mal nach, dass das nicht sein kann.
Bei der Menge $B$:
Du hast quasi schon erkannt, dass diese Menge nicht nach oben beschränkt ist (das erkennt man durch Betrachten gerader [mm] $\black{n}$).
[/mm]
Überlege Dir aber mal, dass [mm] $b_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (daraus folgt, dass $0$ jedenfalls eine untere Schranke für $b$ ist) und dass es eine Folge in $B$ gibt, die gegen $0$ konvergiert. Damit kannst Du Dir überlegen, dass [mm] $\text{inf}B=0\,.$ [/mm] (Ein Minimum für $B$ existiert übrigens auch nicht.)
Generell brauchst Du bei der Bestimmung des Supremums/Infimums auch noch gar nicht den Begriff von (konvergenten) Folgen, sondern Du kannst auch alleine mit der Definition "Supremum= kleinste obere Schranke" sowie "Infimum=größte untere Schranke" arbeiten.
Die Rechnungen sind aber natürlich schon irgendwie ähnlich wie Rechnungen, wo man die Konvergenz von Folgen nachweist. Und es gibt auch Sätze, die man anwenden kann, wo man doch wieder mit Folgen arbeitet (und das habe ich oben angedeutet):
![[]](/images/popup.gif) Feststellung 2.5.5
(Analoges gibt es auch für Infimum [mm] $M\,,$ [/mm] und ich habe quasi oben bei $B$ quasi angedeutet, dass Du auch mit dem Analogon zur Feststellung 2.5.5 zeigen solltest, dass $0$ das Infimum von $B$ ist.)
Aber Du kannst ja auch mal diese alte Antwort meinerseits bzgl. Sup,Inf... durchlesen, insbesondere bei der dort definierten Menge $Z$ habe ich quasi nur per Definitionem nachgerechnet, dass das Infimum von $Z$ gerade $-1$ ist, indem ich gezeigt habe: $-1$ ist untere Schranke für [mm] $Z\,,$ [/mm] und danach dann gezeigt, dass dies auch die größte untere Schranke ist.
So, nun denn: Ich hoffe, Deine Aufgabe wird Dir nun etwas klarer...
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
okay
also ich habe jetzt angenommen dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] bei n=2 ein Supremum bestitzt
Ich habe n=0 [mm] ausgerechnet(=\bruch{2}{5})
[/mm]
n=1 ausgerechnet [mm] (=\bruch{2}{3})
[/mm]
So jetzt habe ich mir überlegt dass ich die Teilfolge ab n= 2 betrachte
Nun beweise ich per Induktion,dass die Folge ab n= 3 bzw ab n= 2 monton fällt:
Induktionsstart bei n= 3 usw
Induktionsschritt [mm] n\ton+1 [/mm] .....erhalte [mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}-2n+2}
[/mm]
Nun stelle ich die Gleichung auf (nach Vor. muss n<n+1 sein)
also [mm] \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5}<\bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}-2n+2} [/mm] vereinfache diese Gleichung und weiß ,dass ab [mm] n\ge2 [/mm] die Gleichung monoton fällt
Den Grenzwert habe ich bestimmt ;liegt bei 1
alle Glieder der Folge nähern sich der 1 an unterschreiten sie aber nicht
Durch den Grenzwert, [mm] a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] & Monotonie weiß ich dass das Sup bei 6 ist
Wissen tu ich auch dass das inf bei [mm] a=\bruch{2}{5} [/mm] liegt
Aber wie beweis ich dies?
Und zu der Menge B hätte ich jetzt einen kleinen Ansatz:
ich mache daruas zwei Teilfolgen [mm] b_{k} [/mm] und [mm] b_{k+1}
[/mm]
aber wie das dann genau funktioniert weiß ich nicht
Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Babsi,
> okay
> also ich habe jetzt angenommen dass die Folge [mm]a_{n}[/mm] bei
> n=2 ein Supremum bestitzt
nimm' das nicht an, sondern schreibe: Wir behaupten, dass $A$ ein Maximum hat. Wir behaupten, dass dieses ( [mm] $a_2$ )$=\black{6}$ [/mm] ist. Wir werden den Beweis dafür liefern.
> Ich habe n=0 ausgerechnet [mm](=\bruch{2}{5})[/mm]
Das wäre so, wenn bei Euch gilt, dass $0 [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Bei mir ist das, wie gesagt, nicht. Das macht einen wesentlichen Unterschied bei der Aufgabe, zumindest, wenn es um die Bestimmung von [mm] $\text{inf} [/mm] A$ geht. Ich denke aber auch, dass bei Euch $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] ist, warum, siehst Du später.
> n=1 ausgerechnet [mm](=\bruch{2}{3})[/mm]
Wie kommst Du darauf? Ich hatte [mm] $a_n=\frac{n^2+2}{n^2-4n+5}\,,$ [/mm] woraus dann [mm] $a_1=\frac{3}{2}$ [/mm] folgt. Hast Du Zähler und Nenner verwechselt?
> So jetzt habe ich mir überlegt dass ich die Teilfolge ab
> n= 2 betrachte
Du willst also mit Folgen arbeiten, also mit dem Analogon zu Feststellung 2.5.5, siehe hier.
> Nun beweise ich per Induktion,dass die Folge ab n= 3 bzw
> ab n= 2 monton fällt:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Induktionsstart bei n= 3 usw
> Induktionsschritt [mm]n\ton+1[/mm] .....erhalte
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}-2n+2}[/mm]
Ah, Du meinst:
[mm] $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^2+2}{(n+1)^2-4(n+1)+5}=\frac{n^2+2n+3}{n^2-2n+2}\,.$$
[/mm]
> Nun stelle ich die Gleichung
Ungleichung
> auf (nach Vor. muss n<n+1
> sein)
Na, $n < n+1$ gilt sogar für alle $n [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und das hat auch nichts mit Voraussetzung zu tun. Deine Behauptung ist, dass für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$$
[/mm]
(Das ist übrigens auch mehr als nur "monoton", bei monoton steht da "nur" [mm] $\le\,.$ [/mm] Das, was Du nun zeigen willst, ist, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ab $n=2$ sogar streng monoton fallend ist. Das geht natürlich auch, aber monoton würde auch reichen.)
> also
> [mm]\bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \red{<}\bruch{n^{2}+2n+3}{n^{2}-2n+2}[/mm]
Sollte da anstelle des [mm] $\red{<}$ [/mm] nicht besser ein $>$ stehen? Linkerhand steht ja [mm] $\black{a_n}$ [/mm] und rechterhand [mm] $a_{n+1}\,.$
[/mm]
Ich würde anfangen:
[mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$ $\gdw$ $\frac{n^2+2n+3}{n^2-2n+2} [/mm] < [mm] \frac{n^2+2}{n^2-4n+5}$ $\gdw$ [/mm] ...
> vereinfache
Besser: Forme
> diese Gleichung
Ungleichung äquivalent um!
> und weiß ,dass ab [mm]n\ge2[/mm] die
> Gleichung monoton fällt
Ich habe bisher weder Gleichungen noch Ungleichungen monoton fallen gesehen Du meinst die Folge 
Wenn ich mich nun nicht verrechnet habe, folgt [mm] $a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 2\,,$ [/mm] weil [mm] $\,15 [/mm] < [mm] 2*(2n^2-n+2)\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt.
> Den Grenzwert habe ich bestimmt ;liegt bei 1
Der Grenzwert von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] liegt nicht bei [mm] $1\,,$ [/mm] sondern der Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist gerade [mm] $=\black{1}\,.$
[/mm]
> alle Glieder der Folge nähern sich der 1 an unterschreiten
> sie aber nicht
> Durch den Grenzwert, [mm]a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}[/mm] & Monotonie
> weiß ich dass das Sup bei 6 ist
> Wissen tu ich auch dass das inf bei [mm]a=\bruch{2}{5}[/mm] liegt
> Aber wie beweis ich dies?
Na, es war ja [mm] $A=\{a_n:\;n \in \IN\}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{n^2+2}{n^2-4n+5}\,.$
[/mm]
Du weißt doch nun folgendes mit Deinen Überlegungen:
[mm] $\black{A}$ [/mm] ist durch [mm] $a_2=6$ [/mm] nach oben beschränkt (d.h.: $6$ ist eine obere Schranke für [mm] $\black{A}$). [/mm] Denn:
Für jedes $a [mm] \in [/mm] A$ existiert ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a=a_N\,.$ [/mm] Ist [mm] $N=\black{0}$ [/mm] oder [mm] $\black{N}=1\,,$ [/mm] so ist sicher [mm] $a_N \le a_2=6\,.$ [/mm] Das hast Du ja schon separat geprüft.
Ist $N [mm] \ge 2\,,$ [/mm] so gilt aber [mm] $a_N \le a_2$ [/mm] (das folgt, weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ja (streng) monoton fällt) und damit auch [mm] $a_N \le 6\,.$
[/mm]
Also gilt [mm] $\text{sup} [/mm] A [mm] \le a_2=6\,.$
[/mm]
Weiter ist [mm] $a_2 \in A\,,$ [/mm] also gilt auch [mm] $\text{sup} [/mm] A [mm] \ge 2\,$ [/mm] und damit auch [mm] $\text{sup} A=a_2=6\,.$ [/mm] Insbesondere ist [mm] $\text{max} A=a_2=6\,.$ [/mm]
Jetzt wichtig: Folgende Überlegung gilt nur, wenn $0 [mm] \in \IN$ [/mm] wäre. Nach der Definition der Menge [mm] $\black{B}$ [/mm] bezweifle ich aber, dass bei Euch $0 [mm] \in \IN$ [/mm] gilt!
Annahme: Sei mal $0 [mm] \in \IN$:
[/mm]
Nun zu [mm] $\text{inf} [/mm] A$:
Es gilt für alle $a [mm] \in A\,,$ [/mm] dass $a [mm] \ge a_0=\frac{2}{5}\,.$ [/mm] Kannst Du das mal beweisen?
Damit ist sicher [mm] $\text{inf} [/mm] A [mm] \ge \frac{2}{5}\,.$ [/mm] Warum gilt auch [mm] $\text{inf} [/mm] A [mm] \le \frac{2}{5}$ [/mm] (und insbesondere [mm] $\text{min} [/mm] A [mm] =\text{inf} [/mm] A$)?
Jetzt kommen wir nochmal zu [mm] $\text{inf} [/mm] A$, wobei nun $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] sei:
Hier gilt nun [mm] $a_1=\frac{3}{2} \ge 1\,.$ [/mm] Außerdem solltest Du nachrechnen: [mm] $a_n \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Damit wäre [mm] $\black{1}$ [/mm] eine untere Schranke für [mm] $\black{A}\,.$ [/mm] Also ist [mm] $\text{inf} [/mm] A [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
Und weil es eine Folge in [mm] $\black{A}$ [/mm] gibt, die (monoton fallend) gegen [mm] $\black{1}$ [/mm] strebt, ist nun auch [mm] $\text{inf} A=1\,.$ $\text{min} [/mm] A$ existiert hier aber nicht!
> Und zu der Menge B hätte ich jetzt einen kleinen Ansatz:
> ich mache daruas zwei Teilfolgen [mm]\red{b_{k}}[/mm]
Das wäre die Folge [mm] $(b_k)_k$ [/mm] selber wieder!
> und [mm]\red{b_{k+1}}[/mm]
Was meinst Du damit? [mm] $(r_k)_k \equiv (b_{k+1})_k$ [/mm] würde man schreiben, wenn [mm] $r_1=b_2\,,$ $r_2=b_3\,,$ $r_3=b_4\,,$... [/mm] Mit anderen Worten: Man würde aus der Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] das erste Glied entfernen und die Numerierung entsprechend anpassen. Das meinst Du nicht, oder?
> aber wie das dann genau funktioniert weiß ich nicht
Ähm ja, ich schätze mal, Du meinst das richtige (aber formal ist das, was Du schreibst, etwas komplett anderes; mache Dir das klar).
Du wolltest wohl die Teilfolgen mit geraden und ungeraden Indizes betrachten.
Also:
Bei der Menge $B$ kann man sagen (ich gehe nun davon aus, dass $0 [mm] \notin \IN$, [/mm] andernfalls wäre die Menge $B$ etwas "problematisch" definiert (für $n=0$)):
Dann gilt
[mm] $$B=\{b_n: \;n \in \IN\}=\{b_{2k}:\;k \in \IN\} \cup \{b_{2k-1}:\;k \in \IN\}=:B_1 \cup B_2\,.$$
[/mm]
Jetzt kannst Du folgendes machen:
Ich behaupte mal: [mm] $B_1$ [/mm] ist nach oben unbeschränkt und nach unten durch [mm] $\black{0}$ [/mm] beschränkt (beides erkennt man mit [mm] $b_{2k}=2k+(-1)^{2k}\cdot{}\left(2k-\bruch{1}{2k}\right)=2k+\left(2k-\bruch{1}{2k}\right) \ge 2k\,.$)
[/mm]
[mm] $B_2$ [/mm] ist auch durch [mm] $\black{0}$ [/mm] nach unten beschränkt. Und ich behaupte:
Die Folge [mm] $(b_{2k-1})_{k \in \IN}$ [/mm] (etwas kürzer würde ich [mm] $(b_{2k-1})_k$ [/mm] schreiben) ist eine (monoton fallende) Folge die gegen [mm] $\black{0}$ [/mm] strebt.
Mit anderen Worten:
Man erkennt hier:
[mm] $\black{B}$ [/mm] ist nach oben unbeschränkt (d.h. [mm] $\text{sup} [/mm] B$ existiert (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht bzw. [mm] $\text{sup} B=\infty$).
[/mm]
Weiter:
[mm] $\black{B}$ [/mm] ist durch [mm] $\black{0}$ [/mm] nach unten beschränkt, also [mm] $\black{0}$ [/mm] ist eine untere Schranke für [mm] $\black{B}\,.$ [/mm] Außerdem gibt es eine Folge in [mm] $\black{B}\,$ [/mm] die gegen diese untere Schranke strebt, daher ist [mm] $\text{inf} B=0\,.$ [/mm] Aber auch hier: [mm] $\text{min} [/mm] B$ existiert nicht.
(Würde [mm] $\text{min} [/mm] B$ existieren, so wäre [mm] $\text{inf} B=\text{min}B\,,$ [/mm] also [mm] $\text{min} B=0\,.$ [/mm] Dann gäbe es aber ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $m+(-1)^m\cdot{}\left(m-\bruch{1}{m}\right)=0\,.$ [/mm] Zeige, dass ein solches $m [mm] \in \IN$ [/mm] nicht existieren kann!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
Okay die Aufgabe habe ich jetzt verstanden außer wie ich bei der Menge A das Infimum beweise ( aber für [mm] 0\in\IN)
[/mm]
Bitte um Mithilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Babsi,
> Okay die Aufgabe habe ich jetzt verstanden außer wie ich
> bei der Menge A das Infimum beweise ( aber für [mm]0\in\IN)[/mm]
ich habe doch auch den Beweis für [mm] $\text{inf} [/mm] A$, falls $0 [mm] \notin \IN$, [/mm] mitgeliefert. Wenn Dir dort etwas unklar ist, dann frage bitte konkret nach. Ich weiß ja nicht, was genau Dir dort unklar ist.
Gruß,
Marcel
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