Supremum und Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls diese existieren) der Menge
M:={ [mm] \bruch{1}{1+n^{-1}} [/mm] } |
Hallo zusammen
Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:
Beh.: Min M = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Bew.:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M gilt: [mm] x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Dies gilt ja immer, da n [mm] \in \IN. [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} [/mm] ist eine untere Schranke, da x [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] Min M = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] inf M = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Beh.: Sup M = 1
Bew.:
1) obere Schranke
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M gilt [mm] x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le 1+\bruch{1}{n} \gdw [/mm] 0 [mm] \le \bruch{1}{n}
[/mm]
Dies gilt ja, da n [mm] \in \IN [/mm]
Stimmt das alles bis hier hin?
Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste obere Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Sa 08.02.2014 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
> diese existieren) der Menge
> M:={ [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hallo zusammen
>
> Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:
>
> Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Bew.:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]
> 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 1
> Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]
> [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere Schranke, da x [mm]\in[/mm]
> M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Beh.: Sup M = 1
> Bew.:
> 1) obere Schranke
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm]
> 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]
> Dies gilt ja,
> da n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Stimmt das alles bis hier hin?
>
> Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste obere
> Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!
>
>
Hallo,
mit elementarer Bruchrechnung wirst du feststellen, dass [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}=\frac{n}{n+1}[/mm] gilt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
> > diese existieren) der Menge
> > M:={ [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
> > Hallo zusammen
> >
> > Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:
> >
> > Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > Bew.:
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]
>
> > 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
>
> > n [mm]\ge[/mm] 1
> > Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere
> Schranke, da x [mm]\in[/mm]
> > M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M =
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Beh.: Sup M = 1
> > Bew.:
> > 1) obere Schranke
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm] 1
> [mm]\gdw[/mm]
> > 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]
> > Dies
> gilt ja,
> > da n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > Stimmt das alles bis hier hin?
> >
> > Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste
> obere
> > Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!
> >
> >
Hallo Abakus.
Das habe ich auch schon festgestellt. Aber das beantwortet ja nicht meine obigen Fragen.... ??
> Hallo,
> mit elementarer Bruchrechnung wirst du feststellen,
> dass [mm]\bruch{1}{1+n^{-1}}=\frac{n}{n+1}[/mm] gilt.
> Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > > Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum (falls
> > > diese existieren) der Menge
> > > [mm] M:=$\{ \bruch{1}{1+n^{-1}}: n\in\IN\}
[/mm]
> > > Habe gerade obige Aufgabe versucht zu lösen:
> > >
> > > Beh.: Min M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > > Bew.:
> > > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt: [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \ge \bruch{1}{2} \gdw[/mm]
>
> >
> > > 1 [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm] * [mm](1+\bruch{1}{n}) \gdw 1\ge \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2n} \gdw \bruch{1}{2} \ge \bruch{1}{2n} \gdw[/mm]
>
> >
> > > n [mm]\ge[/mm] 1
> > > Dies gilt ja immer, da n [mm]\in \IN.[/mm]
Ja. Damit ist gezeigt, dass [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] eine untere Schranke der Menge $M$ ist.
> > [mm]%5CRightarrow%20%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D[/mm] ist eine untere
> > Schranke, da x [mm]\in[/mm]
> > > M [mm]\Rightarrow[/mm] Min M = [mm]\bruch{1}{2} \Rightarrow[/mm] inf M
> =
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist etwas unsauber aufgeschrieben, aber prinzipiell richtig. Besser:
Weil [mm] $\frac{1}{2}\in [/mm] M$, folgt aus [mm] $\min(M) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] bereits [mm] $\inf(M) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
> > > Beh.: Sup M = 1
> > > Bew.:
> > > 1) obere Schranke
> > > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M gilt [mm]x=\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}} \le[/mm]
> 1
> > [mm]\gdw[/mm]
> > > 1 [mm]\le 1+\bruch{1}{n} \gdw[/mm] 0 [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]
> > >
> Dies
> > gilt ja,
> > > da n [mm]\in \IN[/mm]
> > >
> > > Stimmt das alles bis hier hin?
Ja, alles richtig.
> > > Wie kann ich jetzt den zeigen, dass 1 die kleinste
> > obere
> > > Schranke ist? Habe dabei immer grosse Mühe!
Rein formal folgt das bereits aus der Tatsache, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{-1}} [/mm] = 1$ ist und 1 eine obere Schranke von $M$ ist.
Das siehst du wie folgt:
Angenommen, es gäbe eine kleinere obere Schranke u < 1 der Menge M.
Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{-1}} [/mm] = 1$ gibt es [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{1+N^{-1}} [/mm] > u$ (ist dir das klar? - das folgt direkt aus der Definition der Konvergenz, wenn man z.B. [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1-u}{2}$ [/mm] setzt.)
Dies ist aber bereits ein Widerspruch dazu, dass u eine obere Schranke von $M$ sein soll, weil wir ein Element [mm] $\frac{1}{1+N^{-1}} \in [/mm] M$ angegeben haben, dass größer als $u$ ist.
Also ist 1 die kleinste obere Schranke.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
