Supremum ermitteln < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Bestimmem Sie das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der Mengen
[mm] \bruch{a}{a+1} :a\in\IR [/mm] und [mm] a+1\in\IR [/mm] und
[mm] \bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}: m,n\in\IN
[/mm]
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Hallo,
kann mir jemand Ansätze geben, wie ich Aufgaben lösen kann, bei den diese Sachen (Supremum, Infimum, Maximum und Minimum) gesucht sind.
Vielleicht kann jemand mit mir die oben aufgeführten Aufgaben Schritt für Schritt durchgehen.
Ich möchte keine Lösung sondern nur Hilfestellungen, wie man es am besten angeht.
Mein Ansatz bei der ersten:
Sei
[mm] \bruch{a}{a+1} [/mm] :a [mm] \in [/mm] IR und [mm] a+1\in [/mm] IR = [mm] M_{1} [/mm]
für a eine Zahl einsetzen, um zu sehen wie sich die Menge entwickelt,
zB. a=1 wäre 1/2 das Resultat. der Nenner ist immer größer als der Zähler.
eine obere Schranke wäre hier also die 1, doch ist Sie die kleinste?
wenn ich für a Zahlen einsetze die größer 1 sind, dann kommt die Menge
immer näher an die 1, wird sie aber nie durch die im Nenner stehende a+1 erreichen.Genau umgegkehrt wird nie die Null erreicht.(ausser a=0)
ein Supremum gebe es also nicht, weil es immer zum a ein a´ gibt
wobei a´>a ist .
Was kann ich besser machen, wie soll ich rangehen, damit ich auch den Weg bei der zweiten menge finde?
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 So 24.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Bestimmem Sie das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
> der Mengen
>
> [mm]\bruch{a}{a+1}[/mm] :a [mm]\in[/mm] IR und [mm]a+1\in[/mm] IR und
> [mm]\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}:[/mm] m,n [mm]\in[/mm] IN
>
> Hallo,
> kann mir jemand Ansätze geben, wie ich Aufgaben lösen
> kann, bei den diese Sachen (Supremum, Infimum, Maximum und
> Minimum) gesucht sind.
> Vielleicht kann jemand mit mir die oben aufgeführten
> Aufgaben Schritt für Schritt durchgehen.
> Ich möchte keine Lösung sondern nur Hilfestellungen, wie
> man es am besten angeht.
>
> Mein Ansatz bei der ersten:
> Sei
> [mm]\bruch{a}{a+1}[/mm] :a [mm]\in[/mm] IR und [mm]a+1\in[/mm] IR = [mm]M_{1}[/mm]
>
> für a eine Zahl einsetzen, um zu sehen wie sich die Menge
> entwickelt,
> zB. a=1 wäre 1/2 das Resultat. der Nenner ist immer
> größer als der Zähler.
> eine obere Schranke wäre hier also die 1, doch ist Sie die
> kleinste?
>
> wenn ich für a Zahlen einsetze die größer 1 sind, dann
> kommt die Menge
> immer näher an die 1, wird sie aber nie durch die im
> Nenner stehende a+1 erreichen.Genau umgegkehrt wird nie
> die Null erreicht.(ausser a=0)
> ein Supremum gebe es also nicht, weil es immer zum a ein
> a´ gibt
> wobei a´>a ist .
>
> Was kann ich besser machen, wie soll ich rangehen, damit
> ich auch den Weg bei der zweiten menge finde?
>
> Viele Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Also erstens: Supremum und Infimum existieren immer. Maximum und Minimum sind die, die nicht immer existieren müssen.
Zweitens: Du müsstest alles genauer hinschreiben. Wenn du von Mengen redest, dann schreib auch die entsprechenden Mengen hin, also so mit Mengenklammern (=geschweifte Klammern) und so, ne. Man könnte es nämlich möglicherweise mit Folgen verwechseln (wenn du [mm] \in \IN [/mm] da stehen hättest irgendwo). Ausserdem muss man noch bei a) die -1 als Wert für a rausnehmen - hast du auch nicht hingeschrieben - ist aber wichtig!
Und zu der Aufgabe a): Schon gut, dass du Zahlen einsetzt, um zu sehen, wie sich die Menge "entwickelt", aber.... du hast da was vergessen. Da ja a [mm] \in \IR [/mm] ist, kannst du auch negative Zahlen einsetzen, d.h. auch [mm] \frac{-3}{-2}=1,5 [/mm] ist in der Menge enthalten, und das ist vom Betrage her größer als 1 (da du gesehen hast, dass bei positiven a das ganze nicht größer 1 gehen kann - das ist richtig). Ausserdem kannst du auch für a Zahlen nahe der -1 einsetzen... was passiert dann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Tut mir leid wegen den geschweiften Klammern, die habe ich nicht gleich gefunden, aber ich denke das nächste mal daran.
Also wenn ich Zahlen nahe der -1 einsetze geht es nicht, weil man nicht durch Null teilen kann: [mm] \bruch{-1}{1-1}
[/mm]
Wie soll ich es genauer schreiben:
also ich fange mal an:
Gelte a = sup [mm] M_{1} [/mm] (für alle x [mm] \in M_{1}: [/mm] x [mm] \le [/mm] a), dann ist a eine ober Schranke von [mm] M_{1} [/mm] aber was soll ich jetzt tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 24.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Durch Null darf ich nicht teilen, das hast du richtig ermittelt, also darf ich die -1 nicht in die Menge einsetzen.
Aber ich darf mir eine Folge "bauen", die für [mm] i\to\infty [/mm] gegen den Grenzwert der Menge bei -1 läuft.
Bilden wir erstmal die Folge f, die für [mm] i\to\infty [/mm] gegen -1 streben soll, also am einfachsten: [mm] f_{i}=-1+\bruch{1}{i}
[/mm]
Und jetzt setze diese Folgenglieder mal in die Menge ein, also:
[mm] \bruch{-1+\bruch{1}{i}}{-1+\bruch{1}{i}+1} [/mm] und betrachte jetzt mal den Grenzwert dieser neuen Konstruktion
[mm] \limes_{i\to\infty}\bruch{-1+\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i}}
[/mm]
Diese Konstruktion nähert sich von links der -1 jetzt nimm mal eine ähnliche Konstuktion, die sich von rechts annähert, also:
[mm] \limes_{i\to\infty}\bruch{-1\red{-}\bruch{1}{i}}{\red{-}\bruch{1}{i}}
[/mm]
[mm] =\limes_{i\to\infty}\bruch{-(1+\bruch{1}{i})}{-\bruch{1}{i}}
[/mm]
[mm] =\limes_{i\to\infty}\bruch{1+\bruch{1}{i}}{\bruch{1}{i}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Bestimme Supremum Infimum Maximum und Minimum von
[mm] {\bruch{a}{a+1} : a+1 \in \IR_{+}} [/mm]
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Also setze ich hier eine Folge in die Menge für a ein, um nahe in den Bereich von -1 zu kommen, und das von beiden Seiten?
Bezieht sich wohl Maximum Minimum auf den Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 24.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Grenzwert ist ein Supremum/Infimum, weil diese nicht zwingend in der Menge liegen müssen. Liegt der Grenzwert in der Menge, ist es ein Minimum/Maximum
Marius
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> Bestimme Supremum Infimum Maximum und Minimum von
>
> [mm]{\bruch{a}{a+1} : a+1 \in \red{\IR_{+}}}[/mm]
>
Dies ist eine andere Aufgabenstellung als zu Beginn der Diskussion! Wenn a+1 [mm] \in \IR_{+}, [/mm] so darfst du dich nur von rechts an die -1 annähren.
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 24.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Deswegen hab ich auch gesagt, dass man das alles -genau- aufschreiben muss.
Es ist also sup/inf/max/min der Menge [mm] \{\frac{a}{a+1} : a+1 \in \IR^+\} [/mm] gesucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Ich muss mich nochmals entschuldigen, diese Aufgabe hier ist meine erste die ich hier hineingesetzt habe, und habe dazu fast keine Erfahrung, naja learning by doing.
ok, also bedeutet das IR + nur den positiven reelen Teil einbezieht.
Ich werte das mal kurz aus und melde mich gleich wieder mit meinem Ergebnis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Bestimme Supremum Infimum Maximum Minimum von der Menge
$ [mm] \{\frac{a}{a+1} :a \in \IR | a+1 \in \IR_+\} [/mm] $ |
Hallo,
So, hier ist jetzt erstmal die Aufgabe komplett zu sehen, hat leider etwas gedauert bis ich das hinbekam, nochmals Entschuldigung dazu.
Laut meinem Script spielt hier die Bezeichnung INTERVALLE eine Rolle.
es gibt abgeschlossene , halboffene und offene Intervalle,woran erkenne ich zu welcher Art obiges gehört?
daran könnte ich das sup und max erkennen.
also a [mm] \in \IR [/mm] (alles möglich von [mm] +\infty [/mm] bis [mm] -\infty)
[/mm]
und a+1 [mm] \in \IR_+ [/mm] (von -1 bis [mm] +\infty) [/mm]
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Hallo Feiratos,
> Bestimme Supremum Infimum Maximum Minimum von der Menge
>
> [mm]\{\frac{a}{a+1} :a \in \IR | a+1 \in \IR_+\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> So, hier ist jetzt erstmal die Aufgabe komplett zu sehen,
> hat leider etwas gedauert bis ich das hinbekam, nochmals
> Entschuldigung dazu.
>
> Laut meinem Script spielt hier die Bezeichnung INTERVALLE
> eine Rolle.
>
> es gibt abgeschlossene , halboffene und offene
> Intervalle,woran erkenne ich zu welcher Art obiges gehört?
> daran könnte ich das sup und max erkennen.
>
> also a [mm]\in \IR[/mm] (alles möglich von [mm]+\infty[/mm] bis [mm]-\infty)[/mm]
> und a+1 [mm]\in \IR_+[/mm] (a von -1 bis [mm]+\infty)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
also ein offenes Intervall
Du kannst also deine Menge [mm] $M=\left\{\frac{a}{a+1} \ \mid \ a+1\in\IR^{+}\right\}$ [/mm] auch schreiben als [mm] $\left\{\frac{a}{a+1} \ \mid \ a\in(-1,\infty)\right\}$
[/mm]
Stelle dir deine Menge als Menge der Funktionswerte der Funktion [mm] $f:(-1,\infty)\to\IR, [/mm] \ [mm] a\mapsto\frac{a}{a+1}$ [/mm] vor
$f$ ist streng monoton steigend.
Frage: wieso?
und stetig auf [mm] $(-1,\infty)$, [/mm] wieso?
Damit sind dann [mm] $\sup(M)$ [/mm] und [mm] $\inf(M)$ [/mm] klar, oder?
Können es Minimum und Maximum sein?
Schau doch mal ![[]](/images/popup.gif) dort vorbei, da ist das nett erklärt ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo schachuzipus
f ist streng monoton steigend, da die Zahlen für a >-1 bis [mm] \infty [/mm] in Richtung der 1 streben,also steigend ohne diese zu erreichen.
Deshalb auch stetig, denn je größer die Zahlenwerte für a eingesetzt werden, desto näher an die 1, die Veränderungen sind aber sehr klein.
Das supM wäre also=1.
das inf wäre also irgendwo zwischen 1 und 0 also infM=
für alle x [mm] \inftyM [/mm] |1>x>0 x [mm] \in [/mm] M
Da aber der Bereich eigentlich zum oberen Schrankenbereich-Bereich gehört dürfte es kein infM geben, daher auch kein min.
max auch nicht, denn es gibt immer ein a´=a+1 was größer ist als der Vorgänger ist und näher an die 1 kommt.
oder ?
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
>
> f ist streng monoton steigend, da die Zahlen für a >-1 bis
> [mm]\infty[/mm] in Richtung der 1 streben,also steigend ohne diese
> zu erreichen.
Hmmm, das ist ja mal ein Kauderwelsch 
Begründe es doch über die 1. Ableitung: $f'(a)>0$ für alle [mm] $a\in(-1,\infty)$
[/mm]
> Deshalb auch stetig, denn je größer die Zahlenwerte für a
> eingesetzt werden, desto näher an die 1, die Veränderungen
> sind aber sehr klein.
Dieses Argument erschließt sich mir nicht so recht
Es sind $g(a)=a$ und $h(a)=a+1$ stetig auf [mm] $(-1,\infty)$, [/mm] also auch [mm] $f(a)=\frac{g(a)}{h(a)}$ [/mm] als Zusammensetzung aus stetigen Fkten
> Das supM wäre also=1.
Das stimmt, aber mir gefällt die Begründung nicht
Wenn $f$ doch streng monoton wachsend ist, so betrachte doch [mm] $\lim\limits_{a\to\infty}f(a)$
[/mm]
> das inf wäre also irgendwo zwischen 1 und 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") also infM= für alle x [mm]\inftyM[/mm] |1>x>0 x [mm]\in[/mm] M
ääh? "Also"? wieso?
Du kannst wiederum das streng monotone Wachstum anführen: Betrachte mal [mm] $\lim\limits_{a\downarrow -1}f(a)$, [/mm] also den linksseitigen Limes gegen die untere Grenze des Def.bereiches von f
> Da aber der Bereich eigentlich zum oberen
> Schrankenbereich-Bereich gehört dürfte es kein infM geben,
> daher auch kein min.
> max auch nicht, denn es gibt immer ein a´=a+1 was größer
> ist als der Vorgänger ist und näher an die 1 kommt.
> oder ?
[mm] $\sup$ [/mm] und [mm] $\inf$ [/mm] existieren, [mm] $\max$ [/mm] und [mm] $\min$ [/mm] nicht
Begründe nochmal etwas exakter, wieso nicht!
(s. auch nochmal den link oben)
Ganz oben hattest du geschrieben, dass die Werte auf 1 zulaufen, ohne 1 je zu erreichen, das ist schonmal ein sehr guter Ansatz, was bedeutet das im Hinblick auf [mm] $\sup$, [/mm] was im Hinblick auf [mm] $\max$?
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 24.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
danke für deine tolle Hilfe, ich werde das gleich nochmal alles Schritt für Schritt durcharbeiten, kann aber ein bissl dauern.( muss auch schnell ein bissl aufräumen)
bis gleich dann
LG Feiratos
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Bestimme Supremum Infimum Maximum Minimum von der Menge
$ [mm] \{\frac{a}{a+1} :a \in \IR | a+1 \in \IR_+\} [/mm] $ |
Hallo ,
konnte noch nicht früher als wie jetzt mit der Aufgabe weitermachen.
Ich hoffe nicht zuviel zu stressen aber ich möchte einfach die Sachen verstehen bvor ich zu anderen Dingen über gehe.
...ich muss da mal ganz dumm fragen, also ich nehme
f´(x)=1 und 1>0 für alle a [mm] \in {-1,\infty}?
[/mm]
zur Begründung des Sup:
supM ist 1, weil 1 die kleinste obere Schranke ist (aber wie beweisen?)
-sollte ich mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten?
-also annehmen dass es eine andere obere Schranke gibt die kleiner ist?
Max und min gibt es deshalb nicht, weil es immer ein größeres Element unter den Elementen der Menge gibt,und welches eine obere Schranke ist,daher sind auch unendlich viele Elemente in der Menge "M"
Wenn ich den [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] von f(a) betrachte, also
{ [mm] \frac{\infty}{\infty+1} [/mm] }, so geht der Grenzwert gegen 1
[mm] \limes_{a\rightarrow\ -1} [/mm] von f(a)
{ [mm] \frac{\ -1}{\ -1+1} [/mm] } geht nicht, division durch 0 nicht geht
also ich weiß nicht wo das infimum ist, bzw. wie ich es ermittle.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 25.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nach "oben" hast du je die Abschätzung
[mm] \limes_{a\to\infty}\bruch{a}{a+1}=1
[/mm]
Also hast du schonmal ein Supremum. Die Frage ist, ob dieses Supremum in der Menge liegt, also ob es auch ein Maximum ist.
Nach unten bleibt wegen der Monotonie nur noch der andere Rand des Def-Bereichs, also -1, wobei du -1 ja nicht einsetzen darfst.
Also musst du mit der Folgenkonstruktion arbeiten also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+\bruch{1}{n}}{-1+\bruch{1}{n}+1}. [/mm] Dieser Grenzwert gibt dir ein Infimum, sofern er vorhanden ist. Ob das dann noch ein Minimum ist, musst du danach noch prüfen.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Also so:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+\bruch{1}{\infty}}{-1+\bruch{1}{\infty}+1}$
[/mm]
also geht es gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Das würde dann auch das infimum sein also [mm] infM=-\infty?
[/mm]
daher kein Minimum, da es ja kein kleinstes Element in der Menge M gibt( [mm] -\infty)?
[/mm]
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Hallo Feiratos,
> Also so:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-1+\bruch{1}{\infty}}{-1+\bruch{1}{\infty}+1}[/mm]
> also geht es gegen [mm]-\infty.[/mm]
>
> Das würde dann auch das infimum sein also [mm]infM=-\infty?[/mm]
> daher kein Minimum, da es ja kein kleinstes Element in der
> Menge M gibt( [mm]-\infty)?[/mm]
ganz genau!
Da $M$ nach unten unbeschränkt ist, setzt man [mm] $\inf(M)=-\infty$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Na endlich, so langsam bekomme ich eine Orientierung, also die Hilfen hier sind wirklich top!!
Jetzt habe ich aber glich noch eine Frage:
Um das Infimum zu bekommen habe ich die mir angeratene Folgenkostruktion genutzt, doch wann sollte man solche einsetzen,also woran erkenne ich solche Aufgaben wo es gut wäre, und wie müssen diese aussehen.
Gibt es dafür Schemas?
Von alleine wäre ich nämlich nie darauf gekommen, diese selbstgebauten Folgen einzubauen.
Nochmals vielen Dank
LG Feiratos
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 25.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> Na endlich, so langsam bekomme ich eine Orientierung, also
> die Hilfen hier sind wirklich top!!
>
> Jetzt habe ich aber glich noch eine Frage:
>
> Um das Infimum zu bekommen habe ich die mir angeratene
> Folgenkostruktion genutzt, doch wann sollte man solche
> einsetzen,also woran erkenne ich solche Aufgaben wo es gut
> wäre, und wie müssen diese aussehen.
> Gibt es dafür Schemas?
> Von alleine wäre ich nämlich nie darauf gekommen, diese
> selbstgebauten Folgen einzubauen.
Oft sind die Suprema/Infima die Grenzwerte der Folgen/Mengen so dass man irgendwie versuchen muss, diese zu ermitteln. Und dabei helfen oft Folgen, die gegen die Definitionslücken/-ränder [mm] x_{D} [/mm] konvergieren, und die einfachste dieser Art ist die Folge [mm] x_{D}+\bruch{1}{n} [/mm] bzw [mm] x_{D}-\bruch{1}{n}, [/mm] wenn man sich von "unten" annähern muss.
>
> Nochmals vielen Dank
>
> LG Feiratos
Marius
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