Supremum einer Familie von Fkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend
Mich beschäftig gerade eine Fragestellung zu Supremas. Nehmen wir an ich habe eine Familie von Funktionen [mm] $(f_j)$ [/mm] und es gelte [mm] $\sup_j f_j <\infty$. [/mm] Kann ich dann sage, dass [mm] $f_j \le [/mm] M$ für eine Konstante M>0?
Liebe Grüsse
Marianne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 14.02.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \sup_j f_j <\infty [/mm] $
Das ist so nicht sinnvoll. Was sollte z.B. [mm] $\sup\{\sin,\cos\}$ [/mm] sein? Ist das Supremum punktweise, bzgl. irgendeiner Norm, soll es stattdessen das [mm] $\sup$ [/mm] über alle x für jedes [mm] $f_j$ [/mm] sein?
Für
[mm] $\left(x^{1/j}\right)_{j\in\IN}$
[/mm]
gilt
[mm] $\forall x\in\IR^+:\ \sup_j f_j(x) <\infty$
[/mm]
aber es gibt natürlich kein konstantes M.
ciao
Stefan
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Guten Abend
Im Buch von Föllner / Schied Stochastic Finance ![[]](/images/popup.gif) Link auf Seite 42, Lemma 1.69 wird dieses Supremum von Zufallsvariablen so angeschrieben. Wie soll man denn dies verstehen? Etwa als:
$$ [mm] \sup_j f_j \le [/mm] M [mm] <\infty [/mm] $$
Herzlichen Dank und Grüsse
Marianne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Di 14.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend
>
> Im Buch von Föllner / Schied Stochastic Finance
> Link
> auf Seite 41, Lemma 1.69 wird dieses Supremum von
> Zufallsvariablen so angeschrieben. Wie soll man denn dies
> verstehen? Etwa als:
>
> [mm]\sup_j f_j \le M <\infty[/mm]
das, was ich finde, steht auf Seite 42 in Lemma 1.69, und da steht [mm] $\sup_n |\xi_n|\,,$ [/mm] nicht nur [mm] $\sup_n \xi_n\,.$ [/mm] Ich vermute, dass das halt "punktweise p-fast-überall" gemeint ist. Das hieße dann:
Es gibt eine p-Nullmenge $N [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] so, dass
[mm] $$\sup_{n} |\xi_n(x)| [/mm] < [mm] \infty$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \Omega \setminus [/mm] N$ gilt.
Aber ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob das so Sinn macht (dazu müsste ich mich ein wenig mehr mit diesem Buch befassen, was über's Internet ein wenig schwer ist, da google books nur sporadisch Seiten anzeigt, und außerdem mein Internet rumlahmt...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Guten Abend
> >
> > Im Buch von Föllner / Schied Stochastic Finance
> >
> Link
> > auf Seite 41, Lemma 1.69 wird dieses Supremum von
> > Zufallsvariablen so angeschrieben. Wie soll man denn dies
> > verstehen? Etwa als:
> >
> > [mm]\sup_j f_j \le M <\infty[/mm]
>
> das, was ich finde, steht auf Seite 42 in Lemma 1.69, und
> da steht [mm]\sup_n |\xi_n|\,,[/mm] nicht nur [mm]\sup_n \xi_n\,.[/mm] Ich
> vermute, dass das halt "punktweise p-fast-überall" gemeint
> ist. Das hieße dann:
> Es gibt eine p-Nullmenge [mm]N \subseteq \Omega[/mm] so, dass
> [mm]\sup_{n} |\xi_n(x)| < \infty[/mm]
> für alle [mm]x \in \Omega \setminus N[/mm]
> gilt.
>
> Aber ich bin mir gerade nicht ganz sicher, ob das so Sinn
> macht
Doch macht es. Ich fasse das genauso auf.
FRED
> (dazu müsste ich mich ein wenig mehr mit diesem Buch
> befassen, was über's Internet ein wenig schwer ist, da
> google books nur sporadisch Seiten anzeigt, und außerdem
> mein Internet rumlahmt...)
>
> Gruß,
> Marcel
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Guten Morgen Fred
Ich danke dir für deine Mitteilung. Ist damit nun gemeint, dass [mm] $\sup_j |f_j| \le [/mm] M [mm] <\infty$, [/mm] oder wieso kann ich daraus schliessen, dass sie beschränkt sind?
Herzilchen Dank
Liebe Grüsse
Marianne
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Hallo Marianne,
> Ist damit nun gemeint, dass [mm]\sup_j |f_j| \le M <\infty[/mm], oder wieso kann ich daraus schliessen, dass sie beschränkt sind?
Nein, kannst du nicht.
[mm] $\sup_j f_j$ [/mm] < [mm] \infty [/mm] bedeutet nur, dass [mm] $\sup_j f_j$ $\IP$ [/mm] - fast sicher endlich ist.
D.h. für alle [mm] $\omega \not\in [/mm] N$ gilt [mm] $\sup_j f_j(\omega) [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Daraus folgt aber nicht, dass [mm] $\sup_j f_j$ [/mm] auch beschränkt ist.
Sei bspw. [mm] $(\Omega,\mathcal{F},\IP) [/mm] = [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] und
[mm] $\sup_j f_j(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ +\infty, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
dann ist [mm] $\sup_j f_j [/mm] < [mm] \infty$ $\lambda$ [/mm] - fast sicher, aber es gibt keine Konstante M, so dass [mm] $\sup_j f_j [/mm] < M$ [mm] $\lambda$ [/mm] - fast sicher.
edit: Und hab mir den Föllmer-Schied mal angeguckt, da steht mit keiner Silbe, dass die Funktion dann auch beschränkt ist 
MFG,
Gono.
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Guten Tag Gono
Im Beweis wird ja dann gesagt, dass ich o.B.d.A. annehmen kann [mm] $\sup_j|f_j| \le [/mm] 1$. Dan habe ich ja, dass $ [mm] \sup_j|f_j| \le [/mm] M < [mm] \infty$ [/mm] ist?
Liebe Grüsse
Marianne
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Hiho,
> Im Beweis wird ja dann gesagt, dass ich o.B.d.A. annehmen
> kann [mm]\sup_j|f_j| \le 1[/mm]. Dan habe ich ja, dass [mm]\sup_j|f_j| \le M < \infty[/mm] ist?
Ja und Nein.
Da steht:
Sei oBdA [mm]\sup_j|f_j| \le 1[/mm], ANSONSTEN betrachtet man die NEUE Folge [mm] g_j [/mm] mit
[mm] $g_j [/mm] := [mm] \bruch{f_j}{\sup_j |f_j|}$
[/mm]
Mach dir klar (nachrechnen!), dass für [mm] g_j [/mm] dann IMMER gilt [mm]\sup_j|g_j| \le 1[/mm].
MFG,
Gono.
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Guten Abend Gono
Wieso kann ich ausschliessen, dass das Supremum nicht 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend Gono
>
> Wieso kann ich ausschliessen, dass das Supremum nicht 0
> ist?
das brauchst Du gar nicht, und das kann ja auch sein. Aber da steht ja:
Wenn [mm] $\sup_j |\xi_j|$ [/mm] NICHT [mm] $\le [/mm] 1$, dann betrachten wir
[mm] $$(\star)\;\;\;\xi_j/\sup_{j} |\xi_j|\,.$$
[/mm]
Wenn aber [mm] $\sup_j |\xi_j|=0$ [/mm] ist, dann wird die die neue Folge aus [mm] $(\star)$ [/mm] eben nicht gebildet - warum denn auch? Gilt Deines Erachtens nach etwa NICHT $0 [mm] \le [/mm] 1$? Also ich habe, wenn ich nix mehr auf meinem Konto habe, weniger als einen Euro drauf  Aber Spaß beiseite:
Nochmals: Falls [mm] $\sup_j |\xi_j|=0$ [/mm] ist, dann betrachtet man weiterhin die Folge [mm] $(\xi_n)_n$ [/mm] - weil es keinen Grund gibt, "noch durch [mm] $\sup_j |\xi_j|$ [/mm] zu dividieren!".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mi 15.02.2012 | | Autor: | luis52 |
> Fragestellung zu Supremas.
Das ist wie mit dem Fingernagel an der Wandtafel entlangkratzen.
Inklusive Umknicken und Einreißen!
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> > Fragestellung zu Supremas.
>
> Das ist wie mit dem Fingernagel an der Wandtafel
> entlangkratzen.
> Inklusive Umknicken und Einreißen!
>
> vg Luis
Hallo Luis,
ich weiß nicht was Du hast. Was ist denn dabei, wenn unsere Marianne Fragen zu diesem
Gericht aus Argentinien
hat ?
Gruß FRED
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