Supremum/beschränkte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (x_j )_{j \in \IN} [/mm] eine beschränkte Folge. Dann gibt es den lim sup [mm] x_j, [/mm] genauer gesagt:
[mm] lim_{j->\infty} [/mm] sup [mm] x_j [/mm] = [mm] lim_{k->\infty} sup\{x_j : j >= k\} [/mm] |
1Frage:Wieso folgt die Existenz des Grenzwertes [mm] lim_{k->\infty} sup\{x_j : j >= k\}
[/mm]
aus diesem lemma:Sei $ ( [mm] x_j)_{j\in \IN} [/mm] $ eine monotone steigende nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann $ [mm] \exists lim_{ j->\infty} x_i [/mm] $ = $ sup [mm] \{x_j, j \in \IN\} [/mm] $
Ich meine, wo haben wir hier die Monotonie?
2Frage: Bin ich da richtig, dass diser Satz Bolzano Weierstraß heißt=?
LG
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Hiho,
> Ich meine, wo haben wir hier die Monotonie?
Du betrachtest doch die Folge: [mm] $a_k [/mm] = [mm] \sup_{j\ge k} x_j$
[/mm]
Dass diese monoton ist, liegt einfach daran, dass dass Supremum nur kleiner wird, wenn ich weniger Elemente betrachte.
Und mit jedem Folgenglied betrachte ich weniger Elemente.
> 2Frage: Bin ich da richtig, dass diser Satz Bolzano Weierstraß heißt=?
Jein.
Der Satz von Bolzano-Weierstraß lautet formal "Jede beschränkte Folge, besitzt eine konvergente Teilfolge." wobei nicht direkt ausgesagt wird, welche das ist. Allerdings spielt das auch keine Rolle, du konstruierst sie halt. D.h. inhaltlich sind die beiden Sätze identisch.
Gruß,
Gono.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Do 04.10.2012 | | Autor: | theresetom |
AH danke ;))
Liebe Grüße
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