Supremum, Sinus < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Di 07.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Berechnen sie das Supremum und Infimum der Menge: [mm] B=\{sin(n)| n \in \IN\}. [/mm] |
Hallo,
Meine Vermutung ist sin(B)=1.
Die Tatsache sin(n) [mm] \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ist klar, aber (noch)nicht warum es wirklich die kleinste obere Schranke ist.
Mithilfe des Internet habe ich den Ansatz:
ZZ.: B dicht ist in [1,-1] ,d.h. in jeder Umgebung von jedem Element von[-1,1] ist ein Element von B
Denn sei [mm] 1>\epsilon>0 [/mm] beliebig. Angenommen 1>1- [mm] \epsilon [/mm] ist ebenfalls eine obere Schranke.
Es ist [mm] 1-\frac{\epsilon}{2} \in [/mm] [-1,1] und somit nach der Dichtheit existiert eine Folge in B die gegen 1- [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] konvergiert, d.h. ab einen Folgenindex sind die Elemente von B größer als [mm] 1-\epsilon.
[/mm]
Es genügt zuzeigen dass: [mm] A=\{a+ b \pi| a \in \IN, b \in \IZ\} [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist:
Denn dann gilt für beliebiges aber festes x [mm] \in [/mm] [-1,1], [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig, dass [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IN, [/mm] b [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] |a+2\pi [/mm] b - [mm] arcsin(x)|<\epsilon
[/mm]
Nach Mittelwersart der Differentialrechung: [mm] |sin(a+2\pi [/mm] b)- x| [mm] =|sin(a+2\pi [/mm] b) - sin(arcsin(x))| < [mm] |a+2\pi [/mm] b [mm] -arcsin(x)|<\epsilon
[/mm]
Aus der Periodizität des Sinus folgt: |sin(a)-x|< [mm] \epsilon
[/mm]
ZZ.: [mm] A=\{a+ b \pi| a \in \IN, b \in \IZ\} [/mm] dicht in [mm] \IR
[/mm]
Sei y [mm] \in \IR, [/mm] jetzt muss ich zeigen, dass es eine Folge in A gibt die gegen y konvergiert. Habt ihr da Tipps für mich?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Di 07.04.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen sie das Supremum und Infimum der Menge:
> [mm]B=\{sin(n)| n \in \IN\}.[/mm]
> Hallo,
> Meine Vermutung ist sin(B)=1.
> Die Tatsache sin(n) [mm]\le[/mm] 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] ist klar, aber
> (noch)nicht warum es wirklich die kleinste obere Schranke
> ist.
Mach dir das mal am Einheitskreis klar, dass [mm] -1\le\sin(x)\le1
[/mm]
>
> Mithilfe des Internet habe ich den Ansatz:
> ZZ.: B dicht ist in [1,-1] ,d.h. in jeder Umgebung von
> jedem Element von[-1,1] ist ein Element von B
> Denn sei [mm]1>\epsilon>0[/mm] beliebig. Angenommen 1>1- [mm]\epsilon[/mm]
> ist ebenfalls eine obere Schranke.
> Es ist [mm]1-\frac{\epsilon}{2} \in[/mm] [-1,1] und somit nach der
> Dichtheit existiert eine Folge in B die gegen 1-
> [mm]\frac{\epsilon}{2}[/mm] konvergiert, d.h. ab einen Folgenindex
> sind die Elemente von B größer als [mm]1-\epsilon.[/mm]
>
> Es genügt zuzeigen dass: [mm]A=\{a+ b \pi| a \in \IN, b \in \IZ\}[/mm]
> dicht in [mm]\IR[/mm] ist:
> Denn dann gilt für beliebiges aber festes x [mm]\in[/mm] [-1,1],
> [mm]\epsilon[/mm] > 0 beliebig, dass [mm]\exists[/mm] a [mm]\in \IN,[/mm] b [mm]\in \IZ[/mm] :
> [mm]|a+2\pi[/mm] b - [mm]arcsin(x)|<\epsilon[/mm]
> Nach Mittelwersart der Differentialrechung: [mm]|sin(a+2\pi[/mm]
> b)- x| [mm]=|sin(a+2\pi[/mm] b) - sin(arcsin(x))| < [mm]|a+2\pi[/mm] b
> [mm]-arcsin(x)|<\epsilon[/mm]
> Aus der Periodizität des Sinus folgt: |sin(a)-x|<
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> ZZ.: [mm]A=\{a+ b \pi| a \in \IN, b \in \IZ\}[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm]
Das ist viel zu kompliziert gedacht, wenn du dir das ganze über den Einheitskreis klarmachst.
> Sei y [mm]\in \IR,[/mm] jetzt muss ich zeigen, dass es eine Folge
> in A gibt die gegen y konvergiert. Habt ihr da Tipps für
> mich?
>
> LG,
> sissi
Um zu zeigen, dass für Winkel x aus den natürlichen Zahlen [mm] \sin(x)[red]<[/red]1 [/mm] ist, mache dir mal klar, dass der kleinste Wert für x, an dem [mm] \sin(x)=1 [/mm] ist, [mm] x=\frac{\pi}{2} [/mm] ist.
Nun bedenke, dass der Sinus eine [mm] 2$\pi$-periodische [/mm] Funktion ist.
Wenn du nun noch weisst, dass weder [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] noch [mm] 2\pi [/mm] natürliche Zahlen sind, solltest du die Lösung bekommen. 
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 07.04.2015 | | Autor: | sissile |
Meiner Meinung nach löst das mein Problem nicht.
Es könnte ja theoretisch eine Zahl [mm] \delta [/mm] kleiner als 1 geben sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt sin(n) [mm] \le \delta [/mm] <1.
Weil wie du schreibst die Funktion ihre Maxima bei irrationalen Zahlen hat.
Ich glaube du machst dir das so zu einfach. Oder sehe ich vor lauter Bäumen die Einfachheit des Bsp's nicht?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 07.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Meiner Meinung nach löst das mein Problem nicht.
> Es könnte ja theoretisch eine Zahl [mm]\delta[/mm] kleiner als 1
> geben sodass [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gilt sin(n) [mm]\le \delta[/mm] <1.
> Weil wie du schreibst die Funktion ihre Maxima bei
> irrationalen Zahlen hat.
>
> Ich glaube du machst dir das so zu einfach. Oder sehe ich
> vor lauter Bäumen die Einfachheit des Bsp's nicht?
nein, dein Einwand ist berechtigt. Klar ist nur, dass
[mm] $\sin(n) \in [-1,1]\,,$
[/mm]
ich glaube, M.Rex hat nicht beachtet, dass nur $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, er dachte wohl
an $n [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
So einen "schnellen Geistesblitz" habe ich jetzt auch nicht (obwohl ich mich
erinnere, dass ich diese Aufgabe auch mal als Übungsaufgabe hatte; vielleicht
kann man mit der Taylorreihenentwicklung des Sinus was machen). Aber
hier mal ein Link für einen potentiellen Beweis:
![[]](/images/popup.gif) http://math.stackexchange.com/questions/484131/what-is-sup-sinn
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 07.04.2015 | | Autor: | sissile |
-Edit-: Okay die Lösung des Links hab ich nun verstanden. Leider ist die Lösung so sehr abgeschrieben aber ich habs soweit alles verstanden.
Habt ihr vlt noch Ratschläge für den anderen Lösungweg in Beitrag 1?
Bei der Aufgabe dass für ein fixes r [mm] \in [/mm] I (Irrationalen Zahlen) die Menge
A:={a+rb∣a [mm] \in \IN, [/mm] b [mm] \in \IZ\} [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] ist bin ich leider noch nicht weitergekommen.
Würde mich über weitere Hilfe sehr freuen.
LG, sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 08.04.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm die Folge [mm] a_n [/mm] die die Dezimalzahl [mm] \pi(2 [/mm] aproximiert und dann [mm] b_n=[3^n*a_n] [/mm] die nähert sich einem ungeraden Vielfachen von [mm] \pi(2 [/mm] beliebig, wpbei sie natürlich auch -1 dazwischen nahe kommt.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:53 Mi 08.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Kannst du deine Lösungsidee vlt. noch genauer beschreiben?
Da [mm] \pi/2 [/mm] eine irrationale Zahl ist kannst du eine rationale Folge [mm] a_n [/mm] konstruieren, die gegen [mm] \pi/2 [/mm] konvergiert. Du definierst [mm] b_n [/mm] = [mm] (3^n a_n)_{n\in\IN} [/mm] . Ist [mm] b_n [/mm] so nicht unbeschränkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Mi 08.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Kannst du deine Lösungsidee vlt. noch genauer
> beschreiben?
> Da [mm]\pi/2[/mm] eine irrationale Zahl ist kannst du eine
> rationale Folge [mm]a_n[/mm] konstruieren, die gegen [mm]\pi/2[/mm]
> konvergiert. Du definierst [mm]b_n[/mm] = [mm](3^n a_n)_{n\in\IN}[/mm] . Ist
> [mm]b_n[/mm] so nicht unbeschränkt?
Leduart hat geschrieben: $ [mm] b_n=[3^n\cdot{}a_n] [/mm] $. Die eckigen Klammern: Gaußklammer !
Es ist also [mm] b_n \in \IN [/mm] für alle n.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:52 Mi 08.04.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Korrektur, trotzdem verstehe ich nicht was Leduart vor hat.
ZZ.: Für fixes r [mm] \in [/mm] I gilt [mm] A:=\{a+rb|a \in \IN, b \in \IZ\} [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm]
Wir müssen zeigen: [mm] \overline{A}=\IR [/mm] wobei [mm] \overline{A} [/mm] die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in A liegen. D.h. für jede reellen Zahl müssen wir eine Folge in A finden die gegen die reelle Zahl konvergiert.
Eine Folgenglied in A hat die Form [mm] z_n= a_n [/mm] + r [mm] b_n, [/mm] wobei [mm] a_n \in \IN, b_n \in \IZ [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Was haben nur deine [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] mit meinen in der Aufgabe zu tun?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke für die Korrektur, trotzdem verstehe ich nicht was
> Leduart vor hat.
> ZZ.: Für fixes r [mm]\in[/mm] I gilt [mm]A:=\{a+rb|a \in \IN, b \in \IZ\}[/mm]
> dicht in [mm]\IR[/mm]
> Wir müssen zeigen: [mm]\overline{A}=\IR[/mm] wobei [mm]\overline{A}[/mm] die
> Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren
> Glieder in A liegen. D.h. für jede reellen Zahl müssen
> wir eine Folge in A finden die gegen die reelle Zahl
> konvergiert.
> Eine Folgenglied in A hat die Form [mm]z_n= a_n[/mm] + r [mm]b_n,[/mm] wobei
> [mm]a_n \in \IN, b_n \in \IZ[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Was haben nur
> deine [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] mit meinen in der Aufgabe zu tun?
ich glaube, Leduart geht es nicht um Deinen Dichtheitsbeweis, sondern
nur um [mm] $\sup\{\sin(n):\;\; n \in \IN\}=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 10.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> Kannst du deine Lösungsidee vlt. noch genauer
> beschreiben?
ich habe Leduarts Idee auch noch nicht so wirklich ganz verstanden. Aber
ein erster Schritt wäre es vielleicht, sich Gedanken zu
[mm] $d_k:=\pi/2+k*2\pi-\lfloor \pi/2+k*2\pi\rfloor$
[/mm]
zu machen.
Wenn [mm] $\inf\{d_k:\;\; k \in \IN\}=0$ [/mm] oder das entsprechende Supremum [mm] $=1\,$ [/mm] ist, sind wir
fertig.
Wie schwer das ist/wird, vermag ich aber nicht zu sagen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> nimm die Folge [mm]a_n[/mm] die die Dezimalzahl [mm]\pi(2[/mm] aproximiert
> und dann [mm]b_n=[3^n*a_n][/mm] die nähert sich einem ungeraden
> Vielfachen von [mm]\pi(2[/mm] beliebig,
> wpbei sie natürlich auch -1 dazwischen nahe kommt.
den rotmarktierten Satzteil verstehe ich inhaltlich nicht - wie soll mit [mm] $b_n \in \IN$
[/mm]
dann [mm] $b_n$ [/mm] der -1 nahe kommen?
Oder was meinst Du da genau?
P.S. Kann man die [mm] $3^n$ [/mm] nicht durch irgendeine Folge in [mm] $\IN$, [/mm] die ins unendliche
läuft, ersetzen? Oder hat die 3 da eine spezielle Bedeutung?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Do 09.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
rein zu Testzwecken habe ich Deine Idee mal kurz in Octave getestet:
| 1: | format long;
| | 2: | for k=1:20
| | 3: | sin(floor(3^k*floor(10^k*pi/2))/10^k)
| | 4: | pause
| | 5: | end |
Wenn ich in dem Code aus dem [mm] $3^k$ [/mm] ein [mm] $5^k$ [/mm] mache, habe ich wenigstens
hier nur Zahlen nahe bei 1.
(Edit: War aber wohl eher nur Zufall, denn wenn ich k über 20 hinaus laufen
lasse, kommen doch wieder negative Zahlen dazu!)
Man kann sich bestimmt auch überlegen, wie man es schafft, dass man nur
"passende Vielfache von [mm] $\pi/2$" [/mm] approximiert.
Gruß,
Marcel
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