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Supremum/Infimum: Korrektur, Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mi 17.11.2010
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Berechne (ohne formalen Beweis) die Suprema und Infima der folgenden Mengen. Entscheiden Sie außerdem, ob es sich um Minima oder maxima handelt.

a) [mm] M=\{n\inM: n^2 <10\} [/mm]

b) [mm] M=\{\bruch{n}{n+m}: n\in\IN\} [/mm]

c) [mm] M=\{\bruch{n}{2n+1}: n\in\IN\} [/mm]

d) [mm] M=\{\bruch{n}{m}: n,m\in\IN :m+n\le10\} [/mm]



okay....also ich soll nichts beweisen sondern nur zeigen (wenn ich das richtig verstanden habe)

a) [mm] M=\{n\in M: n^2 <10\} [/mm]
supM=3----> Maximum von M
infM=1-----> Minimum von M

[mm] b)M=\{\bruch{n}{n+m}: n\in\IN\} [/mm]
supM= 10--> Maximum von M
infM= 0----> kein Minimumvon M

[mm] c)M=\{\bruch{n}{2n+1}: n\in\IN\} [/mm]
supM= 1----> kein Maximum
infM= 0--------> kein Minimum

d) [mm] M=\{\bruch{n}{m}: n,m\in\IN: m+n\le10\} [/mm]
supM=1 ----> nicht Maximum
infM=1------> nicht Minimum

ich denke mal ich habe wieder so einige Schusseligkeitsfehler rein gehauen.
Aber ich versteh nicht genau den Unterschied zwischen Supremum und Maximum....Stimmt es, dass das maximum genauer definiert ist, also die Funktion/menge "näher" am maximum liegt als am Supremum?


Mathegirl

        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Mi 17.11.2010
Autor: Teufel

Hi!

Erstmal zu Supremum/Maximum. Ist eine Menge A (nach oben) beschränkt, dann nennt man die kleinste obere Schranke der Menge Supremum (eine obere Schranke ist dabei einfach eine Zahl c mit $c [mm] \ge [/mm] a$ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A). Ist das Supremum sogar Teil der Menge, so bezeichnet man es auch als Maximum. Für Infimum/Minimum geht das analog.

Beispiel: [mm] A=\{\frac{1}{n}|n\in\IN\}. [/mm] Hier ist inf(A)=0, aber 0 ist kein Minimum, weil 0 [mm] \notin [/mm] A.
[mm] B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, [/mm] hier ist sup(B)=max(B)=9, inf(B)=min(B)=1.

Zu den Aufgaben:

a) Soll die Menge [mm] M=\{n \in \iN | n^2<10\} [/mm] sein? Dann wäre [mm] M=\{1,2,3\} [/mm] und du hast alles richtig gemacht.

b) Wie kommst du auf 10? Und ist [mm] m\in\IN? [/mm]

c) Schau dir mal die Folge in der Menge an. Diese steigt streng monoton steigend und besitzt einen einfach zu berechnenden Grenzwert.

d) Hier musst du auch noch mal schauen. z.B. ist [mm] $\frac{7}{3} \in [/mm] M$, wegen 7+3=10, aber [mm] \frac{7}{3} [/mm] ist schon größer als dein berechnetes Supremum.

Bezug
                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:19 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

Okay, also ein neuer versuch...

[mm] M={\bruch{n}{n+m}, m,n\in \IN} [/mm]
supM=0,5-----> ist maximum von M
infM=0------> ist nicht Minimum von M


[mm] M={\bruch{n}{2n+1}, n\in\IN} [/mm]
supM=0,5----> kein Maximum von M
infM=0-----> kein Minimum von M


[mm] M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10} [/mm]
supM=9----> Maximum von M
infM=0------> nicht Minimum von M

stimmt das jetzt so?


Mathegirl

Bezug
                        
Bezug
Supremum/Infimum: editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:22 Do 18.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Okay, also ein neuer versuch...

Hallo,

es wäre besser, würdest Du uns auch verraten, was Du Dir bei der Ermittlung der Suprema etc. gedacht hast, dann könnte man man Dir nämlich besser helfen, Deine Fehler zu verstehen.

>  
> [mm]M={\bruch{n}{n+m}, m,n\in \IN}[/mm]
>  supM=0,5-----> ist maximum

> von M

Das ist nicht richtig: [mm] \bruch{7}{7+3} [/mm] ist größer.

>  infM=0------> ist nicht Minimum von M

stimmt



>  
>
> [mm]M={\bruch{n}{2n+1}, n\in\IN}[/mm]
>  supM=0,5----> kein Maximum

> von M

Ja.

>  infM=0-----> kein Minimum von M

Bist Du Dir wirklich sicher, daß die 0 die kleinste untere Schranke ist?
Wenn ja, dann müßte es ja ein [mm] n\in \IN [/mm] geben, so daß [mm] \bruch{1}{n+1}< \bruch{1}{10} [/mm] ist. Gibt's das?
Bedenke also das Infimum neu.

>  
>
> [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
>  supM=9---->

> Maximum von M


>  infM=0------> nicht Minimum von M

Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0, nämlich [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] s. Fragt sich bloß, ob's die kleinste ist...

>  
> stimmt das jetzt so?

Nein.

Gruß v. Angela

>  
>
> Mathegirl


Bezug
                                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

Hallo Angela, bei deiner letzten zeile



> >
> > [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
>  >  supM=9---->

> > Maximum von M
>  
>
> >  infM=0------> nicht Minimum von M

>  
> Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber
> die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne
> eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0,
> nämlich [mm]\bruch{111}{887}.[/mm]

n+m muss [mm] \le [/mm] 10 sein! also ist dein Bruch zu groß!
  
Ich könnte mir höchstens noch vorstellen, dass [mm] \bruch{1}{9}das [/mm] Infimum, also auch gleichzeitig Minimum ist!


Das Maximum von [mm] M={\bruch{n}{n+m}} [/mm] muss also 1 sein, und nicht 0,5. Stimmt das so? Aber 1 ist kein maximum!

[mm] M={\bruch{n}{2n+1}} [/mm]
infM= [mm] \bruch{1}{3}und [/mm] ist somin auch Minimum.

Ich hoffe so stimmt es jetzt?


Bezug
                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 18.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela, bei deiner letzten zeile
>  
>
>
> > >
> > > [mm]M={\bruch{n}{m}, n,m\in\IN und m+n\le10}[/mm]
>  >  >  
> supM=9---->
> > > Maximum von M
>  >  
> >
> > >  infM=0------> nicht Minimum von M

>  >  
> > Es ist die 0 sicher eine untere Schranke Deiner Menge, aber
> > die kleinste untere Schranke ist es nicht, denn ich kenne
> > eine untere Schranke, die größer ist als Deine 0,
> > nämlich [mm]\bruch{111}{887}.[/mm]
>
> n+m muss [mm]\le[/mm] 10 sein! also ist dein Bruch zu groß!

Hallo,

mein Plan ist voll aufgegangen: ich wollte Dich ein bißchen provozieren bzw. aufwecken...

EDIT: Aber ich war etwas übereifrig. Du hast recht!  das ist gar keine untere Schranke. Da war ich etwas unkonzentriert.

Es sollte wohl eher  sowas wie [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] sein.

Schau genau, was ich geschrieben habe schreiben wollte: ich habe nicht geschrieben wollte nicht geschrieben haben, daß [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm]  das Minimum von M ist.
ich habe noch nicht einmal geschrieben wollte noch nicht einmal schreiben, daß [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm] das Infimum von M ist.
Beides wäre auch falsch gewesen.

Geschrieben habe ich schreiben wollte ich: [mm] $\bruch{87}{911}$ [/mm]   ist eine untere Schranke von M, und das ist richtig. Du solltest Dir unbedingt überlegen, weshalb...


> Ich könnte mir höchstens noch vorstellen, dass
> [mm]\bruch{1}{9}das[/mm] Infimum, also auch gleichzeitig Minimum
> ist!

Das wäre eine gute Idee.

>  
>
> Das Maximum von [mm]M={\bruch{n}{n+m}}[/mm] muss also 1 sein, und
> nicht 0,5. Stimmt das so? Aber 1 ist kein maximum!

Ja.

>  
> [mm]M={\bruch{n}{2n+1}}[/mm]
>  infM= [mm]\bruch{1}{3}und[/mm] ist somin auch Minimum.

Ja.

Gruß v. Angela

>  
> Ich hoffe so stimmt es jetzt?
>  


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Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

das verstehe ich noch immer nicht,  [mm] \bruch{111}{887} [/mm] ist EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn  [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist doch noch kleiner!



Bezug
                                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Do 18.11.2010
Autor: fred97


> das verstehe ich noch immer nicht,  [mm]\bruch{111}{887}[/mm] ist
> EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn  
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist doch noch kleiner!


Was soll das ? eine kleinste untere Schranke gibt es nicht !  -12345678987654321 ist z.B. eine untere Schranke, ebenso

     [mm] -123456^{98765432} [/mm]

FRED

>
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

Sorry aber das versteh ich nicht!!!! [mm] n+m\le [/mm] 10 , wie soll das denn gehen?? und [mm] n,m\in \IN.....da [/mm] müsste doch die kleinste schranke [mm] \bruch{1}{9} [/mm] sein!

Bezug
                                                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Do 18.11.2010
Autor: fred97


> Sorry aber das versteh ich nicht!!!! [mm]n+m\le[/mm] 10 , wie soll
> das denn gehen?? und [mm]n,m\in \IN.....da[/mm] müsste doch die
> kleinste schranke [mm]\bruch{1}{9}[/mm] sein!


Jetzt pass mal gut Obacht !  Nehmen wir mal an eine Menge A [mm] \subseteq \IR [/mm] ist nach unten beschränkt und a sei eine untere Schranke von A.

Wir machen mal wieder ein Ratespiel:

Ist a-1 eine untere Schranke von A ?


Ist a-2 eine untere Schranke von A ?


Ist a-3 eine untere Schranke von A ?


Ist a-11234 eine untere Schranke von A ?

Gibt es eine kleinste untere Schranke von A ?


FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

bei deinem beispiel gibt es keine untere schranke!

Bezug
                                                                                        
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Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 18.11.2010
Autor: fred97


> bei deinem beispiel gibt es keine untere schranke!  

Hä ??   Was habe ich oben geschrieben:

"Nehmen wir mal an eine Menge A $ [mm] \subseteq \IR [/mm] $ ist nach unten beschränkt und a sei eine untere Schranke von A. "

            
ein höchst erstaunter FRED  !

Bezug
                                                                                                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Do 18.11.2010
Autor: dfx

Hallo,

möchtest wohl erraten haben, dass es jede $a-x$-beliebige untere Schranke von $A$ geben kann, da wir nichts über $A$ wissen, nur dass es nach unten beschränkt ist. Also ist wohl, wenn man mir eine Auswahl präsentiert, der kleinste Wert, der sich aus $a-x$ ergibt, meine untere Schranke $a$. M.a.w.: Da $A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] nach unten beschränkt, gibt es eine untere Schranke $a$. Die kann $a$ sein, aber auch $a-x$ mit [mm] $x\in\IR$ [/mm] kann auch eine untere Schranke und somit wieder $a$ sein. Das ist etwas verwirrend, aber die Tatsache, dass es eine gibt, sagt nicht, wie sie aussieht, solange $A$ eine unbestimmte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm]

gruss, dfx

der Abstauber

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Do 18.11.2010
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> möchtest wohl erraten haben, dass es jede [mm]a-x[/mm]-beliebige
> untere Schranke von [mm]A[/mm] geben kann, da wir nichts über [mm]A[/mm]
> wissen, nur dass es nach unten beschränkt ist. Also ist
> wohl, wenn man mir eine Auswahl präsentiert, der kleinste
> Wert, der sich aus [mm]a-x[/mm] ergibt, meine untere Schranke [mm]a[/mm].

Solch einen kleinsten Wert gibt es nicht  !!!!



> M.a.w.: Da [mm]A \subseteq \IR[/mm] nach unten beschränkt, gibt es
> eine untere Schranke [mm]a[/mm]. Die kann [mm]a[/mm] sein, aber auch [mm]a-x[/mm] mit
> [mm]x\in\IR[/mm] kann auch eine untere Schranke


nein, nur für x>0


> und somit wieder [mm]a[/mm]
> sein.

Das verstehe wer will



Das ist etwas verwirrend, aber die Tatsache, dass es

> eine gibt, sagt nicht, wie sie aussieht, solange [mm]A[/mm] eine
> unbestimmte Teilmenge von [mm]\IR.[/mm]




Mein Gott,  was ich unserem Mathegirl klar machen wollte ist:

         eine nach unten beschränkte Menge hat keine kleinste untere Schranke

FRED

>  
> gruss, dfx
>  der Abstauber


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Supremum/Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Do 18.11.2010
Autor: Mathegirl

Was ist denn nun Supremum und Infimum?? Gibt kein Infimum oder was??

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Do 18.11.2010
Autor: angela.h.b.


> Was ist denn nun Supremum und Infimum?? Gibt kein Infimum
> oder was??

Hallo,

Du hattest das Infimum mit 1/9 doch längst bestimmt.
Ein Infimum gibt's, aber eben keine kleinste untere Schranke. Darum ging's am Ende.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                        
Bezug
Supremum/Infimum: Du hast recht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Do 18.11.2010
Autor: angela.h.b.


> das verstehe ich noch immer nicht,  [mm]\bruch{111}{887}[/mm] ist
> EINE untere Schranke, aber nicht die kleinste! denn  
> [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist doch noch kleiner!
>
>  

Hallo,

Du hast natürlich recht, Entschuldigung! Meine untere Schranke [mm] $\bruch{111}{887}$ [/mm] ist totaler Mist - weil es nämlich keine ist.
Den Grund dafür nennst Du oben: [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist in der Menge und größer.

Ich habe meine Antwort editiert und die Schranke ausgetauscht gegen [mm] \bruch{87}{911}. [/mm]

Was ich Dir zeigen wollte war, daß 0 kein Infimum von M ist.

Gruß v. Angela


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