Supremum, Infimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 20.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (sofern existent) der Menge M:= [mm] \{\bruch{a+b}{ab}| a,b \in \IN_{>0} \} \subseteq \IR [/mm] |
Hallo,
zunächst mal behaupte ich, das Infimum der Menge ist 0, aber es gibt kein Minimum.
Da offensichtlich [mm] \bruch{a+b}{ab} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] a, b [mm] \in \IN_{>0} [/mm] gilt, ist 0 eine untere Schranke und 0 [mm] \not\in [/mm] M.
Nun muss ich zeigen, dass für alle t>0 gilt: t ist keine untere Schranke.
Sei t>0 gegeben. Wähle a = b > [mm] \bruch{2}{t}, [/mm] dann gilt [mm] \bruch{a+a}{a*a}= \bruch{2a}{a^2}= \bruch{2}{a} [/mm] < [mm] \bruch{2}{\bruch{2}{t}} [/mm] = t.
Somit ist 0 das Infimum von M.
Doch wie ich nun vorgehe um auf das Supremum zu kommen, weiß ich leider nicht.
Meine starke Vermutung ist, dass 2 das Supremum von M ist. Doch wenn es so ist, wie kann ich am einfachsten zeigen, dass 2 eine obere Schranke von M ist?
Klar ist, wenn ich gezeigt habe,dass es eine obere Schranke ist, dann würds weitergehen mit der Behauptung: 2 [mm] \in [/mm] M, womit 2 Maximum und somit auch das Supremum ist...
Beweis [mm] \bruch{1+1}{1*1}= [/mm] 2 [mm] \in [/mm] M
Ich hoffe irgendwer kann mir hier noch weiterhelfen. Danke schon mal im voraus und
viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mi 20.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ms2008de!
> Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum, Minimum (sofern
> existent) der Menge M:= [mm]\{\bruch{a+b}{ab}| a,b \in \IN_{>0} \} \subseteq \IR[/mm]
> zunächst mal behaupte ich, das Infimum der Menge ist 0,
> aber es gibt kein Minimum.
> Da offensichtlich [mm]\bruch{a+b}{ab}[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] a, b [mm]\in \IN_{>0}[/mm]
> gilt, ist 0 eine untere Schranke und 0 [mm]\not\in[/mm] M.
> Nun muss ich zeigen, dass für alle t>0 gilt: t ist keine
> untere Schranke.
> Sei t>0 gegeben. Wähle a = b > [mm]\bruch{2}{t},[/mm] dann gilt
> [mm]\bruch{a+a}{a*a}= \bruch{2a}{a^2}= \bruch{2}{a}[/mm] <
> [mm]\bruch{2}{\bruch{2}{t}}[/mm] = t.
> Somit ist 0 das Infimum von M.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Doch wie ich nun vorgehe um auf das Supremum zu kommen,
> weiß ich leider nicht.
> Meine starke Vermutung ist, dass 2 das Supremum von M ist.
> Doch wenn es so ist, wie kann ich am einfachsten zeigen,
> dass 2 eine obere Schranke von M ist?
Seien [mm] $a,b\in\IN_{>0}$
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\frac{a+b}{ab}\le2$.
[/mm]
Da $a,b>0$ ist die zu beweisende Ungleichung gleichbedeutend mit
[mm] $a+b\le [/mm] 2ab$,
also auch mit
[mm] $a+b\le [/mm] ab+ab$.
Dies zu zeigen ist jedoch nicht schwer, wenn man [mm] $a,b\ge [/mm] 1$ beachtet...
> Klar ist, wenn ich gezeigt habe,dass es eine obere
> Schranke ist, dann würds weitergehen mit der Behauptung: 2
> [mm]\in[/mm] M, womit 2 Maximum und somit auch das Supremum ist...
>
> Beweis [mm]\bruch{1+1}{1*1}=[/mm] 2 [mm]\in[/mm] M
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mi 20.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
>
> Zu zeigen ist [mm]\frac{a+b}{ab}\le2[/mm].
>
> Da [mm]a,b>0[/mm] ist die zu beweisende Ungleichung gleichbedeutend
> mit
>
> [mm]a+b\le 2ab[/mm],
>
> also auch mit
>
> [mm]a+b\le ab+ab[/mm].
>
> Dies zu zeigen ist jedoch nicht schwer, wenn man [mm]a,b\ge 1[/mm]
> beachtet...
>
Okay, offensichtlich gilt: a [mm] \le [/mm] ab (I)
da b [mm] \ge [/mm] 1 und analog:
b [mm] \le [/mm] ab (II)
da a [mm] \ge [/mm] 1.
(I+II) liefert:
a+b [mm] \le [/mm] 2ab |: (ab)
[mm] \bruch{a+b}{ab} \le [/mm] 2
Damit ist 2 obere Schranke und aus dem letzten Post folgt dann auch: Maximum und Supremum
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hiho,
alternativ kann man auch folgendes machen:
[mm] $\bruch{a+b}{ab} [/mm] = [mm] \bruch{a}{ab} [/mm] + [mm] \bruch{b}{ab} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b}$
[/mm]
Offensichtlich gilt: $1 [mm] \ge \bruch{1}{a} [/mm] > 0$ und [mm] $\bruch{1}{a}$ \to [/mm] 0 für [mm] $a\to \infty$.
[/mm]
Mit a=b=1 folgt damit sofort: [mm] $\sup [/mm] M = [mm] \max [/mm] M = 2, 0 = [mm] \inf [/mm] M, [mm] \min [/mm] M$ existiert nicht
Gruß,
Gono
|
|
|
|
