Supremum - Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 04.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm] a_n [/mm] bildet. Ist jetzt a tatsächlich nur als [mm] \text{eine} [/mm] Zahl aufzufassen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ?
Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[ als infM=1 und nicht [mm] infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}
[/mm]
LG
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
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> es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann
> a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] bildet. Ist jetzt a
> tatsächlich nur als [mm]\text{eine}[/mm] Zahl aufzufassen
> ?
Klar, als was sonnst ?
>
> Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[
> als infM=1 und nicht [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
Warum sollt man das Infimum dieser Menge gerade so definieren ??
Das Infimum einer Menge M ist die größte untere Schranke dieser Menge. Fertig
FRED
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> LG
> Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 04.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
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> > Hallo,
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> > es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann
> > a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] bildet. Ist jetzt a
> > tatsächlich nur als [mm]\text{eine}[/mm] Zahl aufzufassen
> > ?
>
> Klar, als was sonst ?
siehe unten
> >
> > Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[
> > als infM=1 und nicht [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
>
> Warum sollt man das Infimum dieser Menge gerade so
> definieren ??
genau darum geht es - ich könnte ja auch [mm] a_n=1-\frac{1}{n} [/mm] nehmen nur einmal läge infM im Intervall und einmal nicht. Ist das völlig schnurz?
Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition aus dem Teubner:
Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a [/mm] wenn jede [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm] a_n [/mm] bis auf endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert. Auch wenn sie sich irgendwann beliebig wenig von a distanzieren, so halten sie immer noch Abstand. Und wenn man zudem sagt, dass sich bei Entfernung von endlich vielen a_ns der Grenzwert nicht mehr ändert, so verdeutlicht es doch nur, dass a eigentlich ein Sammelsorium an den restlichen a_ns ist.
Deshalb finde ich [mm] infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n} [/mm] genauer als infM=1
> Das Infimum einer Menge M ist die größte untere Schranke
> dieser Menge. Fertig
ja, das kann man überall nachlesen.
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo Fred,
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> > > Hallo,
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> > >
> > > es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann
> > > a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] bildet. Ist jetzt a
> > > tatsächlich nur als [mm]\text{eine}[/mm] Zahl aufzufassen
> > > ?
> >
> > Klar, als was sonst ?
>
> siehe unten
>
> > >
> > > Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[
> > > als infM=1 und nicht [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
>
> >
> > Warum sollt man das Infimum dieser Menge gerade so
> > definieren ??
>
> genau darum geht es - ich könnte ja auch [mm]a_n=1-\frac{1}{n}[/mm]
> nehmen nur einmal läge infM im Intervall und einmal nicht.
Das verstehe ich nicht ! Ist M = ]1,2[ , so ist inf M = 1 [mm] \notin [/mm] M
Natürlich kannst Du die Zahl 1 als Grenzwert von vielen, vielen unterschiedlichen Folgen darstellen, aber was hat das mit dem Infimum von M zu tun ?
> Ist das völlig schnurz?
>
> Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition
> aus dem Teubner:
>
> Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wenn jede
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm]a_n[/mm] bis auf
> endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die
> Folge [mm](a_n)[/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
>
>
> So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen
> irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die
> meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert.
Mit Verlaub, aber das ist Unfug.
> Auch wenn sie sich irgendwann beliebig wenig von a
> distanzieren, so halten sie immer noch Abstand.
Bei konstanten Folgen aber nicht
> Und wenn
> man zudem sagt, dass sich bei Entfernung von endlich vielen
> a_ns der Grenzwert nicht mehr ändert, so verdeutlicht es
> doch nur, dass a eigentlich ein Sammelsorium an den
> restlichen a_ns ist.
Das kann ich nun gar nicht nachvollziehen.
>
> Deshalb finde ich [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
> genauer als infM=1
Genauer ? Genauer als infM=1 gehts nicht
FRED
>
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> > Das Infimum einer Menge M ist die größte untere Schranke
> > dieser Menge. Fertig
>
> ja, das kann man überall nachlesen.
>
>
> LG
> Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 04.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
> > > >
> > > > es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann
> > > > a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] bildet. Ist jetzt a
> > > > tatsächlich nur als [mm]\text{eine}[/mm] Zahl aufzufassen
> > > >
> > >
> > > Klar, als was sonst ?
> >
> > siehe unten
> >
> > > >
> > > > Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[
> > > > als infM=1 und nicht [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Warum sollt man das Infimum dieser Menge gerade so
> > > definieren ??
> >
> > genau darum geht es - ich könnte ja auch [mm]a_n=1-\frac{1}{n}[/mm]
> > nehmen nur einmal läge infM im Intervall und einmal nicht.
>
>
> Das verstehe ich nicht ! Ist M = ]1,2[ , so ist inf M = 1
> [mm]\notin[/mm] M
>
> Natürlich kannst Du die Zahl 1 als Grenzwert von vielen,
> vielen unterschiedlichen Folgen darstellen, aber was hat
> das mit dem Infimum von M zu tun ?
ok, da hatte ich dann wohl zwei Sachen vermischt, die nichts miteinander zu tun haben.
>
> > Ist das völlig schnurz?
Eigene Antwort: ja, weil irrelevant 
>
> > Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition
> > aus dem Teubner:
> >
> > Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wenn jede
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm]a_n[/mm] bis auf
> > endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die
> > Folge [mm](a_n)[/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
> >
> >
> > So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen
> > irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die
> > meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert.
>
>
> Mit Verlaub, aber das ist Unfug.
Why, was bedeutet es dann?
>
> > Auch wenn sie sich irgendwann beliebig wenig von a
> > distanzieren, so halten sie immer noch Abstand.
>
> Bei konstanten Folgen aber nicht
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - das stimmt auffallend - die hatte ich nicht explizit ausgenommen, allerdings auch nicht gemeint.
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > > > >
> > > > > es heißt ja: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wobei dann
> > > > > a den Grenzwert der Zahlenfolge [mm]a_n[/mm] bildet. Ist jetzt a
> > > > > tatsächlich nur als [mm]\text{eine}[/mm] Zahl aufzufassen
> > > > >
> > > >
> > > > Klar, als was sonst ?
> > >
> > > siehe unten
> > >
> > > > >
> > > > > Wenn ja, warum definiert man dann für das Intervall ]1,2[
> > > > > als infM=1 und nicht [mm]infM=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{n}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Warum sollt man das Infimum dieser Menge gerade so
> > > > definieren ??
> > >
> > > genau darum geht es - ich könnte ja auch [mm]a_n=1-\frac{1}{n}[/mm]
> > > nehmen nur einmal läge infM im Intervall und einmal nicht.
> >
> >
> > Das verstehe ich nicht ! Ist M = ]1,2[ , so ist inf M = 1
> > [mm]\notin[/mm] M
> >
> > Natürlich kannst Du die Zahl 1 als Grenzwert von vielen,
> > vielen unterschiedlichen Folgen darstellen, aber was hat
> > das mit dem Infimum von M zu tun ?
>
> ok, da hatte ich dann wohl zwei Sachen vermischt, die
> nichts miteinander zu tun haben.
>
> >
> > > Ist das völlig schnurz?
>
> Eigene Antwort: ja, weil irrelevant
>
>
>
> >
> > > Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition
> > > aus dem Teubner:
> > >
> > > Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wenn jede
> > > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm]a_n[/mm] bis auf
> > > endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die
> > > Folge [mm](a_n)[/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
> > >
> > >
> > > So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen
> > > irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die
> > > meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert.
> >
> >
> > Mit Verlaub, aber das ist Unfug.
>
> Why, was bedeutet es dann?
In Worten:
[mm] (a_n) [/mm] hat den Grenzwert a [mm] \gdw $|a_n-a|$ [/mm] wird beliebig klein, falls n hinreichend groß
Exakt:
[mm] (a_n) [/mm] hat den Grenzwert a [mm] \gdw [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_n-a|< \varepsilon$ [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
FRED
>
> >
> > > Auch wenn sie sich irgendwann beliebig wenig von a
> > > distanzieren, so halten sie immer noch Abstand.
> >
> > Bei konstanten Folgen aber nicht
>
> - das stimmt auffallend - die hatte ich nicht explizit
> ausgenommen, allerdings auch nicht gemeint.
>
>
> LG
> Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Do 04.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
zunächst einmal ein Danke Schön für die Klärung von Teil 1 meiner Frage (sup/inf ist ja geklärt).
> > >
> > > > Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition
> > > > aus dem Teubner:
> > > >
> > > > Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wenn jede
> > > > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm]a_n[/mm] bis auf
> > > > endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die
> > > > Folge [mm](a_n)[/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
> > > >
> > > >
> > > > So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen
> > > > irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die
> > > > meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert.
> > >
> > >
> > > Mit Verlaub, aber das ist Unfug.
> >
> > Why, was bedeutet es dann?
>
>
> In Worten:
>
>
> [mm](a_n)[/mm] hat den Grenzwert a [mm]\gdw[/mm] [mm]|a_n-a|[/mm] wird beliebig
> klein, falls n hinreichend groß
>
>
> Exakt:
>
> [mm](a_n)[/mm] hat den Grenzwert a [mm]\gdw[/mm] zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> existiert ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]|a_n-a|< \varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
also, ich nehme mit: a ist definiert.
Naja - hat auch was
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> zunächst einmal ein Danke Schön für die Klärung von
> Teil 1 meiner Frage (sup/inf ist ja geklärt).
>
>
> > > >
> > > > > Ich beziehe mich auf die fundamentale Grenzwertdefinition
> > > > > aus dem Teubner:
> > > > >
> > > > > Es sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Wir schreiben
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=a[/mm] wenn jede
> > > > > [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung der reellen Zahl a alle [mm]a_n[/mm] bis auf
> > > > > endlich viele enthält. In diesem Fall sagen wir, dass die
> > > > > Folge [mm](a_n)[/mm] gegen den Grenzwert a konvergiert.
> > > > >
> > > > >
> > > > > So, das heißt für mich, dass es sich bei limes gegen
> > > > > irgendwas nur um eine Umgebung handelt, in der sich die
> > > > > meisten a_ns häufeln und nicht um einen konkreten Wert.
> > > >
> > > >
> > > > Mit Verlaub, aber das ist Unfug.
> > >
> > > Why, was bedeutet es dann?
> >
> >
> > In Worten:
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> >
> > [mm](a_n)[/mm] hat den Grenzwert a [mm]\gdw[/mm] [mm]|a_n-a|[/mm] wird beliebig
> > klein, falls n hinreichend groß
> >
> >
> > Exakt:
> >
> > [mm](a_n)[/mm] hat den Grenzwert a [mm]\gdw[/mm] zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0
> > existiert ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > [mm]|a_n-a|< \varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
>
> also, ich nehme mit: a ist definiert.
??????????????????
>
> Naja - hat auch was
Ganz exakt:
$ [mm] (a_n) [/mm] $ ist konvergent $ [mm] \gdw [/mm] $ es gibt ein a [mm] \in \IR [/mm] so, dass es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ein N $ [mm] \in \IN [/mm] $ gibt mit:
$ [mm] |a_n-a|< \varepsilon [/mm] $ für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ N
FRED
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> Liebe Grüße
> Herby
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