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Supremum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Di 20.12.2011
Autor: Amiaz

Aufgabe
Sei M [mm] \subset \IR [/mm] nach oben beschränkt und sei a eine obere Schranke zu M. Zeigen Sie: Wenn [mm] a_n \in [/mm] M existieren, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a , so gilt a = sup M
Hinweis: Widerspruchsbeweis.

Irgendwie ist mir klar was da steht.
M ist beschränkt und der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] geht gegen a. Dadurch folgt ja auch automatisch, dass a das Supremum ist.
Doch wie zeig ich das? Nehm ich an, dass a nicht das Supremum ist und zeig dann den Widerspruch?
wenn ja, wie genau setz ich da an?

        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Di 20.12.2011
Autor: fred97


> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] nach oben beschränkt und sei a eine
> obere Schranke zu M. Zeigen Sie: Wenn [mm]a_n \in[/mm] M existieren,
> sodass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a , so gilt a =
> sup M
>  Hinweis: Widerspruchsbeweis.
>  Irgendwie ist mir klar was da steht.
>  M ist beschränkt

M ist nur nach oben beschränkt !


> und der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] geht
> gegen a.

nein. Der Limes von [mm] (a_n) [/mm]  ist = a


> Dadurch folgt ja auch automatisch,


automatisch ?


> dass a das
> Supremum ist.
>  Doch wie zeig ich das? Nehm ich an, dass a nicht das
> Supremum ist und zeig dann den Widerspruch?
>  wenn ja, wie genau setz ich da an?

Sei s:= sup M. Annahme: a [mm] \ne [/mm] s. Da a eine obere Schranke von M ist, folgt: s<a. Nun haben wir:

                 [mm] a_n \le [/mm] s für jedes n.

Jetzt Du.

FRED


Bezug
                
Bezug
Supremum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 21.12.2011
Autor: Amiaz

Komm ich nicht dran weiter...
Ich soll doch nun mit der Annahme a < s das zum Widerspruch führen indem ich rausfinde, dass a = s ist?

Edit:
Hab nun weiter nachgedacht:
Also:
Können wir vorraussetzen, dass [mm] a_n \in [/mm] M und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = ist?
Dann wüssten wir ja, dass a der Limes ist. Zudem ist a eine obere Schranke. Daraus würde ja folgen, dass a das Supremum ist.

Bezug
                        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mi 21.12.2011
Autor: fred97


> Komm ich nicht dran weiter...
>  Ich soll doch nun mit der Annahme a < s das zum
> Widerspruch führen indem ich rausfinde, dass a = s ist?
>  Edit:
>  Hab nun weiter nachgedacht:
>  Also:
>  Können wir vorraussetzen, dass [mm]a_n \in[/mm] M und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = ist?


Mann !!!!!!!!!!!!!!!!

Voraussetzungen sind:

1. a ist eine obere Schranke von M.

2. [mm] (a_n) [/mm] ist eine konvergente Folge in M mit Grenzwert a.

Zeigen sollst Du : a= sup M.




>  Dann wüssten wir ja, dass a der Limes ist.

Mann, mann !!

Zudem ist a

> eine obere Schranke. Daraus würde ja folgen, dass a das
> Supremum ist.

Ja, aber warum ??????


So weit waren wir:

Sei s:= sup M. Annahme: a $ [mm] \ne [/mm] $ s. Da a eine obere Schranke von M ist, folgt: s<a. Nun haben wir:

                 $ [mm] a_n \le [/mm] $ s für jedes n.

Dann folgt: a [mm] \le [/mm] s, also a<a, Widerspruch !

FRED


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