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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 28.10.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
(a) Es sein [mm] M=\{y \in \IR : y= \bruch{1}{x}, x \in \IR\}[/mm]. Dann ist [mm]inf(M) = 0[/mm]
(b) Sein [mm]B \subset \IR [/mm] beschränkt. Dann sind Supremum uns Infimum eindeutig bestimmt. |
ich grübel erstmal an der (a)
wir haben folgendermaßen definiert:
Eine Zahl [mm] s \in \IR [/mm] heißt Infimum von A (nicht-leere Teilmenge von [mm] \IR[/mm] ), wenn gilt:
(1) [mm] s [/mm] ist eine untere Schranke von A, d.h. [mm] \forall a \in \IR : s \le a [/mm]
(2) wenn [mm] s [/mm] und [mm] r [/mm] untere Schranken von A, dann gilt [mm] r \le s [/mm]
Aber das stimmt doch nicht oder???
ich kann doch z.B [mm] x= -1 [/mm]wählen und dann ist [mm] y=-1[/mm] und das ist doch dann kleiner als 0. Also kann das doch keine Schranke sein oder??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 28.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie:
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> (a) Es sein [mm]M=\{y \in \IR : y= \bruch{1}{x}, x \in \IR\}[/mm].
> Dann ist [mm]inf(M) = 0[/mm]
>
> (b) Sein [mm]B \subset \IR[/mm] beschränkt. Dann sind Supremum uns
> Infimum eindeutig bestimmt.
> ich grübel erstmal an der (a)
>
> wir haben folgendermaßen definiert:
>
> Eine Zahl [mm]s \in \IR[/mm] heißt Infimum von A (nicht-leere
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ), wenn gilt:
>
> (1) [mm]s[/mm] ist eine untere Schranke von A, d.h. [mm]\forall a \in \IR : s \le a[/mm]
>
> (2) wenn [mm]s[/mm] und [mm]r[/mm] untere Schranken von A, dann gilt [mm]r \le s[/mm]
>
>
>
> Aber das stimmt doch nicht oder???
> ich kann doch z.B [mm]x= -1 [/mm]wählen und dann ist [mm]y=-1[/mm] und das
> ist doch dann kleiner als 0. Also kann das doch keine
> Schranke sein oder??
Wenn die Aufgabe so ist wie sie da steht, hast du recht.
Stand da aber vielleicht x [mm] \in \IR^+ [/mm] ?
Nur so würde die Aufgabe bzw. ihre vorgegebene Lösung einen Sinn ergeben.
(Oder hieß es [mm] \bruch{1}{x^2}?)
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 28.10.2010 | | Autor: | ella87 |
Nö, alles korrekt abgeschrieben!
Dann ist ja gut. Ich hab mich schon gewundert. So falsch kann man eine so simple Definition auch nicht verstehen =)
Danke für die schnelle Antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 30.10.2010 | | Autor: | ella87 |
zu (a) NATÜRLICH war ein Fehler in der Aufgabe, ist dem Assistenten aber erst auf Nachfrage eingefallen. Damit ist die Aufgabe klar.
und zu (b)
Das ist doch wieder ein wenig schwammig formuliert oder?
So wie die Aufgabe gestellt ist, muss ich doch 3 Fälle unterscheiden:
1. B nach oben beschränkt
2. B nach unten bschränkt
3. B nach oben und unten beschränkt
und das Sup und Inf eindeutig bestimmt ist, ergibt sich doch recht einfach aus dem Satz:
"(i) Jede nicht- leere, nach oben beschränkte Teilmenge [mm] A [/mm] von [mm]\IR[/mm] besitze ein Supremum.
(ii) Jede nicht- leere, nach unten beschränkte Teilmenge [mm] A [/mm] von [mm]\IR[/mm] besitze ein Infimum."
und nach den Definition von Infimum und Supremum, sind diese eindeutig bestimmt.
Aber man kann die Aussage über B nur treffen, wenn man weiß, WIE sie beschränkt ist, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Wir haben gelernt: Eine Teilmenge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Also müsste das der Fall 3 sein.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ella!
> zu (a) NATÜRLICH war ein Fehler in der Aufgabe, ist dem
> Assistenten aber erst auf Nachfrage eingefallen. Damit ist
> die Aufgabe klar.
Und? Was war falsch in der Aufgabenstellung?
> und zu (b)
> Das ist doch wieder ein wenig schwammig formuliert oder?
> So wie die Aufgabe gestellt ist, muss ich doch 3 Fälle
> unterscheiden:
> 1. B nach oben beschränkt
> 2. B nach unten bschränkt
> 3. B nach oben und unten beschränkt
Wie bereits unten geschrieben wurde: "beschränkt" (ohne weitere Zusätze) bedeutet nach oben und nach unten beschränkt.
Gruß
Loddar
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