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| Aufgabe | Für A; B Teilmengen von R definieren wir A + B := {x + y | x є A und y є B}. Seien nun A; B nichtleere nach
oben beschränkte Teilmengen von R.
Zeigen Sie:
sup(A + B) = supA + supB.
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Ist das nicht offensichtlich?
Keine Ahnung, was ich da nun noch zu tun habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Ja, mit offensichtlich ist das so eine Sache...
trotzdem kann man hier gut üben, solche Dinge aufzuschreiben.
Zu zeigen ist erstmal:
[mm] $\sup(A+B)$ [/mm] existiert.
Das ist eigentlich klar, denn für [mm] $A,B\not=\emptyset$ [/mm] ist auch [mm] $A+B:=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}\not=\emptyset$ [/mm] und es ist [mm] $\sup A+\sup [/mm] B$ eine obere Schranke, denn zu [mm] $c\in [/mm] A+B$ ex. [mm] $a\in A,b\in [/mm] B$ mit $c=a+b$ und damit [mm] $c=a+b\le \sup A+\sup [/mm] B$.
Nun ist noch nachzuweisen, daß tatsächlich [mm] $\sup(A+B)=\sup A+\sup [/mm] B$ gilt.
Der eine Teil [mm] ($\sup A+\sup [/mm] B$ ist obere Schranke) ist bereits erledigt.
Bekommst Du den anderen Teil [mm] ($\sup A+\sup [/mm] B$ ist kleinste obere Schranke) alleine hin?
Gruß,
Christian
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