Supermartingal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 31.07.2012 | | Autor: | hula |
hallöchen zusammen
ich bin beim durcharbeiten eines Buchkapitels auf folgenden Fakt gestossen, den ich nicht beweisen kann. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Sei [mm] $(M_t)$ [/mm] ein Supermartingal mit der Eigenschaft, dass [mm] $t\mapsto E[M_t]$ [/mm] konstant ist für alle [mm] $t\ge [/mm] 0$. Wieso folgt daraus, dass [mm] $(M_t)$ [/mm] sogar ein Martingal ist?
danke euch!
greetz
hula
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Hiho,
etwas "quick and dirty":
Supermartingal: [mm] $E[X_t [/mm] | [mm] \mathcal{F}_s] \le X_s$
[/mm]
Martingal: [mm] $E[X_t [/mm] | [mm] \mathcal{F}_s] [/mm] = [mm] X_s$
[/mm]
Annahme: Es gelte mal "<"
[mm] $E[X_t [/mm] | [mm] \mathcal{F}_s] [/mm] < [mm] X_s \quad \Rightarrow \quad E\left[E[X_t | \mathcal{F}_s]\right] [/mm] < [mm] E[X_s] \quad \Rightarrow \quad E[X_t] [/mm] < [mm] E[X_s]$
[/mm]
was nen Widerspruch ist.
Also gilt: [mm] \le [/mm] aber nicht <, folglich gilt =
Der Beweis hat aber einen Fehler, welchen? Aber die Idee dürfte so stimmen.
MFG,
Gono.
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