Sun Zi, mod 3, 5, 7 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 31.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Angenommen wir haben eine unbekannte Anzahl von Objekten.
Wenn man sie in drei zählt, bleiben 2 übrig.
Wenn man sie in fünf zählt, bleiben 3 übrig.
Wenn man sie in sieben zählt, bleiben 2 übrig.
Wie viele Objekte hat man. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe auch eine Lösung, nämlich $105n+23$ Objekte wobei [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Gelöst habe ich es einfach so, dass ich erstmal nach einer Zahl gesucht habe die dies erfüllt. Das war die 23 als kleinste Zahl.
$23 [mm] \mod [/mm] 3=2$
$23 [mm] \mod [/mm] 5=3$
$23 [mm] \mod [/mm] 7=2$
Dann habe ich nur noch das kleinste gemeinsame Vielfache von 3, 5 und 7 bestimmt. Weil das alles Primzahlen sind ist dies einfach $3*5*7=105$
Meine Frage ist nun wie ich begründen kann, dass dies auch wirklich die Lösungen sind.
Gedacht hatte ich einfach wie folgt. Ich brauch ja einen "Startpunkt". Das wäre hier die kleinste Lösung, also 23.
Wenn man sich alle Zahlen notiert, und die Reste mod 3, 5, 7 betrachtet, dann sucht man ja immer nur nach den Konstellationen wann diese eben 2, 3, 2 sind. Geht man von der 23 aus, so ist das nun immer der Fall wenn der Rest für alle Zahlen gleichzeitig "verschwindet". Also eben bei Vielfachen des kgV, nämlich 105.
Gehört diese Aufgabe zu den diophantischen Gleichungen?
Vielen Dank im voraus.
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Ist das nicht einfach der chinesische Restsatz?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Aufgaben diesen Typs nennt man lineare Kongruenzen. Der chinesische Restsatz besagt, dass der Homomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow\IZ/3\times\IZ/5\times\IZ/7$, [/mm] $ [mm] x\longmapsto (\bar {x},\bar {x},\bar [/mm] {x}) $ surjektiv ist mit Kern [mm] $3*5*7\IZ [/mm] $ insbesondere ist das Urbild eines Elementes eindeutig modulo $105$. Wir suchen ein Urbild vom $(2,3,2) $, mit $23$ hast du eines gefunden und dieses ist Modulo 105 eindeutig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Do 01.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, vielen Dank.
Ja den chinesischen Restsatz hatten wir, aber nur eine algebraische Version.
Ich wusste zwar, dass die Aufgabe damit zusammenhängt, aber nicht genau wie ich ihn anwenden kann.
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