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| Aufgabe | Berechne
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{3}}{(n+1)!}
[/mm]
Hinweis: Verschiebung des Summenindex (evtl. mehrmals) |
Habe in den letzten Stunden mehrfach versucht, dieses Beispiel anzusetzen und zu lösen, habe aber leider keine chance gehabt. hab mir gedacht man könnte zähler und nenner getrennt behandeln, führt mich aber auch nicht auf einen grünen zweig.
hoffe mir kann jemand helfen!
danke im voraus!
mfg clemens
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Hallo
ich fürchte das wird eine ziemliche Schreiberei.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{3}}{(n+1)!}[/mm] = [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{(n-1)^{3}}{n!}[/mm]
Jetzt Binomische Formel im Zähler, dann n kürzen, wo´s geht.
Bei den höheren Potenzen von n wieder Indexverschiebung, damit im Nenner wieder n! steht. Dafür handelst du dir im Zahler wieder eine Binomische Formel ein. Also gleiche Prozedur wie oben, usw. bis du alle Summanden "im Prinzip" auf [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a}{n!}[/mm] = a [mm] \dot [/mm] e gebracht hast.
Gruß korbinian
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Danke für diesen Ansatz werde die jetzt versuchen!
mfg
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Also ich habe jetzt so lange vereinfacht und gekürzt bis da steht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ((n-4)/((n-1)!))) + 6*e + 1
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß wie ich den index weiter verschieben soll um im nenner n! zu bekommen! ich würde ja sonst index -1 erhalten was schwchsinn wäre
Ich den Angabe war auch ein kleiner fehler den ich geändert habe. der startindex is nämlich n=0!!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 16.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Einfach Summationsindex um 1 erhöhen, dann kannst du den Index in der Summation verkleinern, andersrum genauso.
Ich weiß ja nicht, wie weit du jetzt schon gerechnet hast, aber ich glaube das sieht etwas falsch aus, weil du ja jetzt (-1)! berechnen musst für n=0 und das geht nicht.
Ich habs so gemacht: umindiziert, binomscher satz angewendet
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3-3n^2+3n-1}{n!}
[/mm]
Dann kannst du ja deine Summe Aufteilen, also
[mm] \summe\bruch{n^3}{n!}-\summe\bruch{3n^2}{n!}...
[/mm]
den letzten Teil [mm] \summe\bruch{1}{n!} [/mm] kannst du ja so schon ausrechnen, das ist e-1.
für den Rest kürzt du einfach mal ein n weg und summierst das ganze wieder um und wendest ggf. nochmal den binomischen Satz an.
Noch ein Beispiel: Der vorletzte Summand
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3n}{n!}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3}{(n-1)!}=
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{(n)!}=3e
[/mm]
Die anderen Summanden gehen einfach analog.
Gruß
Max
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Genau so hab ich es auch gelöst nur hab ich vorne ein Problem
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{n!} [/mm] wenn ich hier kürze und den index verschiebe rutscht der index irgendwan in den negativen bereich, weil ich ja öfters kürzen muss um das n³ wegzubekommen, was dann zu einem problem mit der fakultät wird. hinten ist es mir ganz klar nur vorne spiest es sich!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{(n-1)!} [/mm] =
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n-1)^2}{(n)!} [/mm] =
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n² - n + 1)}{(n)!} [/mm] =
und hier entsteht das problem zB bei n²
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n²)}{(n)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n)}{(n-1)!} [/mm] =
[mm] \summe_{n=-1}^{\infty}\bruch{(n)}{(n)!} [/mm] = ...
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Clemens!
Dir unterläuft ein Vorzeichenfehler bei der ersten Indexverschiebung. Zudem löst Du die binomische Formel im Zähler falsch auf:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{(n-1)!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n \ \red{+} \ 1)^2}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^2 + \ \red{2}* n + 1}{n!} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Da hast du recht, das war blödsinn von mir, aber ich habe halt weiter das Problem mit dem n² welches ich beschrieben hab. jetzt ist der index schon auf 0 und wenn ich das n² weiter kürze dann msste der index wie von mir beschrieben irgendwnn auch negativ werden was aber nicht sein darf!
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mo 19.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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