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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
Hallo !
Kurze Frage.
Unsere Dozentin hat uns die Frage gestellt, wie man denn [mm] \summe_{i=-2}^{2} [/mm] n als Summe ausschreiben kann.
Als Beispiel vorher hatte sie [mm] \summe_{i=1}^{5} [/mm] 4 gegeben und das gleich 4+4+4+4+4 geschrieben, denn man könne die Summe [mm] \summe_{i=1}^{5} [/mm] 4 ja auch schreiben als [mm] \summe_{i=1}^{5} [/mm] (4 [mm] *\bruch{i}{i}) [/mm] ....klingt ja logisch.
Habe ich aber nun i=-2 gesetzt, so habe ich dann ja an einer Stelle n * [mm] \bruch{0}{0} [/mm] da stehen... das darf ich doch nicht...aber dennoch kommt die Summe 5n da oben raus.
Kann mir das jemand erklären ?
LG; Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 19.11.2011 | | Autor: | skoopa |
Hei Ferolei!
> Hallo !
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> Kurze Frage.
> Unsere Dozentin hat uns die Frage gestellt, wie man denn
> [mm]\summe_{i=-2}^{2}[/mm] n als Summe ausschreiben kann.
>
> Als Beispiel vorher hatte sie [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 gegeben
> und das gleich 4+4+4+4+4 geschrieben, denn man könne die
> Summe [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 ja auch schreiben als
> [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] (4 [mm]*\bruch{i}{i})[/mm] ....klingt ja
> logisch.
>
> Habe ich aber nun i=-2 gesetzt, so habe ich dann ja an
> einer Stelle n * [mm]\bruch{0}{0}[/mm] da stehen... das darf ich
> doch nicht...aber dennoch kommt die Summe 5n da oben raus.
>
> Kann mir das jemand erklären ?
Also ich würde das Ganze eher so erklären, dass man einfach den Faktor n aus der Summe ausklammert. Also:
[mm] \summe_{i=-2}^{2}n=n*\summe_{i=-2}^{2}1=n*(1+1+1+1+1)
[/mm]
Andererseits, wenn man sich das mit dieser [mm] \bruch{i}{i} [/mm] -Schreibweise klar machen will, braucht man die Regel von l'Hospital.
Damit dann schaust du dir den 0-ten Summanden an (denn der macht ja das Problem).
Du hast also sowas da stehen, wie [mm] "n\bruch{0}{0}".
[/mm]
(Man darf diese Durch-Null-Teilerei ja eigentlich nicht hinschreiben, aber ich machs unten jetzt dennoch, weil jetzt ja jeder weiß was gemeint ist.)
Du betrachtest nun den Limes gegen 0, also [mm] n\bruch{0}{0}=\limes_{i\rightarrow 0}n\bruch{i}{i}=n\cdot\limes_{i\rightarrow 0}n\bruch{i}{i}.
[/mm]
Nun bildest du jeweils von Nenner und Zähler die Ableitung nach i und betrachtest dann wieder den Limes für i gegen 0. Also:
[mm] \limes_{i\rightarrow 0}\bruch{\bruch{d}{di}i}{\bruch{d}{di}i}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{1}{1}=1.
[/mm]
Dann ist nach l'Hospital dieser Limes (also 1) gleich dem Limes den du berechnen wolltest. Also in Zeichen:
[mm] \bruch{0}{0}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{i}{i}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{\bruch{d}{di}i}{\bruch{d}{di}i}=1.
[/mm]
Damit hast du dann die Identität, die dir vorschwebt.
>
> LG; Ferolei
Hoffe das lichtet den Nebel.
Alles Gute!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo skoopa!
Also ich denke, dass deine Argumentation etwas gewagt ist.
> Hei Ferolei!
>
> > Hallo !
> >
> > Kurze Frage.
> > Unsere Dozentin hat uns die Frage gestellt, wie man
> denn
> > [mm]\summe_{i=-2}^{2}[/mm] n als Summe ausschreiben kann.
> >
> > Als Beispiel vorher hatte sie [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 gegeben
> > und das gleich 4+4+4+4+4 geschrieben, denn man könne die
> > Summe [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 ja auch schreiben als
> > [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] (4 [mm]*\bruch{i}{i})[/mm] ....klingt ja
> > logisch.
> >
> > Habe ich aber nun i=-2 gesetzt, so habe ich dann ja an
> > einer Stelle n * [mm]\bruch{0}{0}[/mm] da stehen... das darf ich
> > doch nicht...aber dennoch kommt die Summe 5n da oben raus.
> >
> > Kann mir das jemand erklären ?
>
> Also ich würde das Ganze eher so erklären, dass man
> einfach den Faktor n aus der Summe ausklammert. Also:
> [mm]\summe_{i=-2}^{2}n=n*\summe_{i=-2}^{2}1=n*(1+1+1+1+1)[/mm]
Was hat das mit der Frage zu tun? Für $n=1$ hat man nichts gewonnen.
> Andererseits, wenn man sich das mit dieser [mm]\bruch{i}{i}[/mm]
> -Schreibweise klar machen will, braucht man die Regel von
> l'Hospital.
> Damit dann schaust du dir den 0-ten Summanden an (denn der
> macht ja das Problem).
> Du hast also sowas da stehen, wie [mm]"n\bruch{0}{0}".[/mm]
> (Man darf diese Durch-Null-Teilerei ja eigentlich nicht
> hinschreiben, aber ich machs unten jetzt dennoch, weil
> jetzt ja jeder weiß was gemeint ist.)
> Du betrachtest nun den Limes gegen 0, also
> [mm]n\bruch{0}{0}=\limes_{i\rightarrow 0}n\bruch{i}{i}=n\cdot\limes_{i\rightarrow 0}n\bruch{i}{i}.[/mm]
>
> Nun bildest du jeweils von Nenner und Zähler die Ableitung
> nach i und betrachtest dann wieder den Limes für i gegen
> 0. Also:
> [mm]\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{\bruch{d}{di}i}{\bruch{d}{di}i}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{1}{1}=1.[/mm]
>
> Dann ist nach l'Hospital dieser Limes (also 1) gleich dem
> Limes den du berechnen wolltest.
Ich glaube nicht, dass Ferolei den berechnen wollte.
> Also in Zeichen:
> [mm]\bruch{0}{0}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{i}{i}=\limes_{i\rightarrow 0}\bruch{\bruch{d}{di}i}{\bruch{d}{di}i}=1.[/mm]
>
> Damit hast du dann die Identität, die dir vorschwebt.
[mm] $\lim\limits_{i\rightarrow 0} \frac{i}{i} [/mm] = [mm] \lim\limits_{i\rightarrow 0} [/mm] 1 = 1$ auch ohne l'Hospital!
Du zeigst damit, dass $f: [mm] \mathbb{R}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}; x\mapsto \frac{x}{x}=1$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] durch die konstante Funktion $f(x) = 1$ stetig fortgesetzt werden kann. Aber auch das hat nichts mit der Frage zu tun.
>
> >
> > LG; Ferolei
>
> Hoffe das lichtet den Nebel.
> Alles Gute!
> skoopa
Es scheint mir eher eine Frage nach der fehlenden Indizierung zu sein. (siehe meine Antwort auf Feroleis Frage.)
LG mathfunnel
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> Hallo !
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> Kurze Frage.
> Unsere Dozentin hat uns die Frage gestellt, wie man denn
> [mm]\summe_{i=-2}^{2}[/mm] n als Summe ausschreiben kann.
>
> Als Beispiel vorher hatte sie [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 gegeben
> und das gleich 4+4+4+4+4 geschrieben, denn man könne die
> Summe [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] 4 ja auch schreiben als
> [mm]\summe_{i=1}^{5}[/mm] (4 [mm]*\bruch{i}{i})[/mm] ....klingt ja
> logisch.
Was ist daran logisch?
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> Habe ich aber nun i=-2 gesetzt, so habe ich dann ja an
> einer Stelle n * [mm]\bruch{0}{0}[/mm] da stehen... das darf ich
> doch nicht...
Weil es eben nicht logisch ist!
> aber dennoch kommt die Summe 5n da oben raus.
>
> Kann mir das jemand erklären ?
>
> LG; Ferolei
Hier kommt die erforderliche Definition:
[mm] $\summe_{i = k}^{l}a [/mm] := [mm] \summe_{i = k}^{l}a_i$ [/mm] mit [mm] $a_i [/mm] = a$ für [mm] $i\in \{k,\ldots, l\}$, [/mm] wobei [mm] $a_i,a, [/mm] l, k [mm] \in \mathbb [/mm] Z$. (Das kann natürlich verallgemeinert werden. Die Definition von [mm] $\summe_{i = k}^{l}a_i$ [/mm] ist dabei als bekannt vorausgesetzt.)
Damit ist $ [mm] \summe_{i=1}^{5} [/mm] 4 = [mm] \summe_{i=1}^{5} a_i [/mm] = [mm] a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=20$, [/mm] mit [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} =a_3 =a_4 =a_5 [/mm] =4$
und
[mm] $\summe_{i=-2}^{2} [/mm] n = [mm] \summe_{i=-2}^{2} a_i [/mm] = [mm] a_{-2}+a_{-1}+a_0+a_1+a_2=5n$ [/mm] mit [mm] $a_{-2}= a_{-1}=a_{0}=a_{1}=a_{2}= [/mm] n$.
Das alles leistet die Definition (ohne "Logik" und ohne die Plausibilisierung von skoopa via Analysis).
LG mathfunnel
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