Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Ausdruck:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4^{n+1}-5*(-2)^{n-1}}{8^{n-1}} [/mm] |
Bin hier so mal vorgegangen:
Habe es zur Übersichtlichkeit mal so aufgeschrieben:
[mm] \bruch{4^{n+1}}{8^{n-1}}+\bruch{10^{n-1}}{8^{n-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{1^{n+1}}{2^{n-1}}+\bruch{8}{10}^{n-1}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2})^{(n+1)-(n-1)}+(\bruch{10}{8})^{n-1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}+(\bruch{10}{8}^{n-1}) [/mm] <--- Das ist dann meine Lösung
Danke dass Ihr euch das mal so anschaut !!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Habe dann jetzt wieder "eine" Summe daraus gemacht:
[mm] -80*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{4+2}{8})^{n-1} [/mm] darf ich das machen... oder muss ich die summen einzeln wieder aufschreiben?
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Hallo Onkel-Di!
Nein, das ist auch nicht richtig. Das dies falsch ist, sollte Dir schon am einfachen Bespiel der binomischen Formel [mm] $(a+b)^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] a^2+b^2$ [/mm] klar werden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Danke für die praktische Erklärung Roadrunner!!
Ich habe mir dahingehend folgendes überlegt:
Habe mir zuerst die Summe [mm] 16*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{n-1} [/mm] angeschaut.... habe mir dann mal die Glieder so aufgeschrieben... die 1 bleibt immer stehen, und die restlichen Glieder gehen gegen 0. Darf ich dann die 1 stehen lassen? Und die anderen vernachlässigen?
Falls ja, dann habe ich das auch in der 2. Summe gemacht und komme am Ende auf 16*1 - (-5)*(-1) = 22
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Hallo Onkel-Di!
Auch das stimmt leider wieder nicht. Siehe Dir bitte mal die Formel für die  geometrische Reihe (oder auch ![[]](/images/popup.gif) hier) an!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Okay, nach der geometrischen Reihe:
[mm] 16*\summe_{n=0}^{\inty}\bruch{1-((\bruch{1}{2})^{n-1})^{n+1}}{1-\bruch{1}{2}}
[/mm]
wäre das dann für den 1. Term korrekt? Wenn ich nach der geometrischen Reihe vorgehe?
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Hallo Onkel-Di,
> Okay, nach der geometrischen Reihe:
>
> [mm]16*\summe_{n=0}^{\inty}\bruch{1-((\bruch{1}{2})^{n-1})^{n+1}}{1-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> wäre das dann für den 1. Term korrekt? Wenn ich nach der
> geometrischen Reihe vorgehe?
Nein, da hast Du die Summenformel nicht richtig angewandt. Schau Dir das nochmal in Ruhe an.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Jetzt habe ich mir nochmals die Geometrische Reihe angeschaut...
wenn q<1 ist, dann gilt doch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm] .
Darf ich diese Regel anwenden? Hilfe ich seh hier nicht wie ich weiterkomme!!!!!!
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Hallo,
> Jetzt habe ich mir nochmals die Geometrische Reihe
> angeschaut...
>
> wenn q<1 ist, dann gilt doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
Nein. Was macht das Summenzeichen da?
Die Summenformel für die geometrische Reihe ermöglicht doch gerade, das Summenzeichen zu tilgen!
> Darf ich diese Regel anwenden? Hilfe ich seh hier nicht wie
> ich weiterkomme!!!!!!
Nachdenken könnte helfen. Du reagierst zu schnell und ohne genügend zu überlegen.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Nochmal:
ich habe das mir nochmals angeschaut aus der Def. habe ich gelesen, dass das [mm] q^{k} [/mm] später nur als q auftaucht.
Da es sich um eine unendliche Summe handelt, bei der q kleiner 1 ist gehe ich dann aus, dass [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] anwenden darf.
Oder habe ich hier nicht genügend überlegt?
Danke 
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Hallo nochmal,
> ich habe das mir nochmals angeschaut aus der Def. habe ich
> gelesen, dass das [mm]q^{k}[/mm] später nur als q auftaucht.
Allerdings nur unter den Bedingungen, die Du jetzt nachreichst:
> Da es sich um eine unendliche Summe handelt, bei der q
> kleiner 1 ist gehe ich dann aus, dass [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> anwenden darf.
Das ist richtig.
> Oder habe ich hier nicht genügend überlegt?
Das stimmt ja alles, aber Du musst Dir genau anschauen, wo die Summe losläuft (einer der häufigsten Fehler bei der Anwendung der Formel) - und sie schließlich durch den obigen Bruch ersetzen. Das ist das Ergebnis einer unendlichen Aufsummierung.
Was bei Dir zuviel ist, ist das Summenzeichen!
> Danke
Bitte.
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Also ich mache da weiter , wo roadrunner aufgehört hat:
[mm] 16*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{8}^{n-1} [/mm] - [mm] 5*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{-2}{8})^{n-1}
[/mm]
Jetzt wende ich diese Formel [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] an, weil ich sehe, dass die Summen beidesmal bei 1 starten und unendlich sind.
[mm] 16*\bruch{1}{1-0,5} [/mm] - [mm] 5*\bruch{1}{1-(-0,25)}
[/mm]
Ich erhalte 32-4 = 28 als Ergebnis... ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich mache da weiter , wo roadrunner aufgehört hat:
>
> [mm]16*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{8}^{n-1}[/mm] -
> [mm]5*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{-2}{8})^{n-1}[/mm]
bei ihm steht
> $ = \ [mm] 16\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\red{\Big(}\bruch{4}{8}\red{\Big)}^{n-1}-5\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{-2}{8}\right)^{n-1}$
[/mm]
da! Was ich mich immer noch frage: Wieso schreibst Du das nicht um zu
$$=\ [mm] 16\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\red{\Big(}\bruch{1}{2}\red{\Big)}^{n-1}-5\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{-1}{4}\right)^{n-1}$$
[/mm]
Und nun gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty q^k\,,$$
[/mm]
und das hätte ich mal gerne von Dir begründet. Du denkst nämlich leider
wirklich anscheinend noch nicht minimal mit, sondern versuchst, Formeln
zu finden, die Du verwenden kannst. Du verstehst aber noch nicht mal die
Formeln. Und das kann nicht Sinn der Sache sein!
> Jetzt wende ich diese Formel [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Das ist keine Formel, sondern das ist ein Term. Und es gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
für sogar alle $q [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|q| < [mm] 1\,.$ [/mm]
(DA steht eine Formel!) Aber warum das gilt, das hast Du meines
Erachtens nach gar nicht kapiert. Stumpfes Verwenden
von Formeln ist eigentlich ziemlich SINNLOS, denn:
> an, weil ich
> sehe, dass die Summen beidesmal bei 1 starten
Siehste? Alleine deswegen frage ich mich, was Du Dir denkst: Wenn man
für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] weiß, dass
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty q^k=1/(1-q)$$
[/mm]
ist, kann man sich eine Gleichung für
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k$$
[/mm]
leicht überlegen - dazu gibt's zwei Möglichkeiten:
1.) [mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=q*\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=q*\sum_{k=0}^\infty q^k=q/(1-q)\,,$$
[/mm]
oder
2.) [mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=q^0+\sum_{k=1}^\infty q^k-q^0=\sum_{k=0}^\infty q^k-q^0=\frac{1}{1-q}-1\,.$$
[/mm]
Oh... warum steht da rechterhand denn was anderes bei 2.) wie bei 1.)?
Ich rate mal: Gilt vielleicht [mm] $\frac{q}{1-q}=\frac{1}{1-q}-1$???
[/mm]
> und unendlich
> sind.
>
> [mm]16*\bruch{1}{1-0,5}[/mm] - [mm]5*\bruch{1}{1-(-0,25)}[/mm]
>
> Ich erhalte 32-4 = 28 als Ergebnis... ist das richtig?
Ja. Das sieht man auch etwa so - mit einem kleinen Zwischenschritt:
$$\ [mm] 16\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\red{\Big(}\bruch{1}{2}\red{\Big)}^{n-1}-5\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{-1}{4}\right)^{n-1}=\ 16\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\red{\Big(}\bruch{1}{2}\red{\Big)}^{n}-5\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{-1}{4}\right)^{n}=16*\frac{1}{1-1/2}-5*\frac{1}{1-(-1/4)}=32-4=28\,.$$
[/mm]
Man sollte auch irgendwo wenigstens erwähnen, dass für $1/2$ sicher
$|1/2|=1/2 < [mm] 1\,$ [/mm] und auch für [mm] $-1/4\,$ [/mm] sicher $|-1/4|=1/4 < [mm] 1\,$ [/mm] gilt.
Und ich erspare es mir nun auch, Dir nochmal zu erklären, dass genaugenommen eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] erstmal nur für die
Folge der Teilsummen steht und im Falle der Konvergenz dann auch eine
zweite Bedeutung hinzukommen kann: Die des Grenzwertes...
Oben haben wir jedenfalls für [mm] $\sum_{k=1}^\infty q^k$ [/mm] eine konvergente
Reihe vorliegen, falls $|q| < [mm] 1\,,$ [/mm] und da stehen dann Formeln für den
Grenzwert einer solchen Reihe...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Vielen Dank für die netten Erklärungen:
Zu deiner Erklärung wieso [mm] \summe_{n=1}^{\infty}q^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^{k} [/mm] ist habe ich es mir so hergeleitet.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^{-1} [/mm] diese Summe kann ich ja auch als [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{q} [/mm] schreiben... diese geht gegen den 0 .
Reicht das als Erklärung?
Entschuldige, dass ich bei Mathe eine Vollniete bin!
Gruß
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Hallo Onkel-Di,
> Vielen Dank für die netten Erklärungen:
>
> Zu deiner Erklärung wieso [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^{k}[/mm]
Das hat niemand geschrieben und wäre auch totaler Kokolores!
> ist habe ich es mir so
> hergeleitet.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^{-1}[/mm] diese Summe kann ich ja auch
> als [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{q}[/mm] schreiben... diese
> geht gegen den 0 .
>
> Reicht das als Erklärung?
Nein, das ist abstrus!
>
> Entschuldige, dass ich bei Mathe eine Vollniete bin!
Abschreiben musst du schon richtig, sonst kann das ja nix werden ...
Was da gemacht wird, ist eine Indexverschiebung. <-- nachschlagen!
Wenn du den Index am Summenzeichen um 1 (oder allg. um x) erniedrigst, musst du das innerhalb der Summe entsprechend korrigieren und um 1 (oder um x) erhöhen.
Und umgekehrt.
Ansonsten schreibe dir beide Summen aus ...
>
> Gruß
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Hey, danke für das Stichwort. Ich muss mir das echt genauer anschauen. Jetzt schnackelts glaub ich mal so langsam. Ich übe noch ein paar mal.
Danke!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die netten Erklärungen:
>
> Zu deiner Erklärung wieso [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^{n-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^{k}[/mm] ist
das steht nirgends. Denn [mm] $\sum_{\red{n}=\red{1}}^\infty q^{\red{k}}$
[/mm]
wäre sehr unschön.
> habe ich es mir so
> hergeleitet.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^{-1}[/mm] diese Summe kann ich ja auch
> als [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{q}[/mm] schreiben... diese
> geht gegen den 0 .
Glaubst Du denn Deinen Argumenten eigentlich selber? Also mal RICHTIG:
Mit [mm] $\ell:=k-1$ [/mm] durchläuft [mm] $\ell$ [/mm] (in aufsteigender Reihenfolge) genau dann
die Zahlen von [mm] $0\,$ [/mm] bis [mm] $\infty\,,$ [/mm] wenn [mm] $k\,$ [/mm] sie (in aufsteigender
Reihenfolge) von [mm] $1\,$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] durchläuft.
Also gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell\,.$$
[/mm]
Da man aber Laufvariablen umbenennen kann, wie man will, ist
[mm] $$\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=\sum_{k=0}^\infty q^k\,,$$
[/mm]
wobei "strenggenommen" nun die "Beziehung" [mm] $\ell=k-1\,$ [/mm] dann
"fallengelassen wurde" - ebenso wird nicht mehr berücksichtigt, dass man
am Anfang [mm] $k\,$ [/mm] von [mm] $1\,$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] laufen gelassen hatte.
Wenn Du den Begriff "Indexshift"/Indexverschiebung nicht kennst, dann
mach halt, so wie ich es vorgeschlagen habe, schlimmstenfalls "eine
Variablensubstitution" der Art [mm] $\ell=k-m\,$ [/mm] - mit $m [mm] \in \IN$ [/mm] - wobei bei Dir oben [mm] $m=1\,$ [/mm] war.
> Reicht das als Erklärung?
Nein!
> Entschuldige, dass ich bei Mathe eine Vollniete bin!
Das ist Quatsch. Was ich Dir glauben würde: "Entschuldige, dass ich
gerade total chaotisch und schlampig arbeite und oft einfach draufloslege,
ohne wirklich nachzudenken."
Denn man erwartet von Dir hier keine Wunder: Das hier sind einfache,
logische Herangehensweisen, die man eigentlich sogar schon Schülern
beibringen könnte.
Du beherrschst viele Begriffe noch nicht, entsprechend kommt bei Deinen
"Arbeiten" hier teilweise solcher 'Käse' raus. Lerne halt anständig und frag'
nach, wenn Du etwas nicht kapierst. Lerne halt in einem Dir passenden
Tempo und versuche, nachzuprüfen, ob Du kapiert hast, was Du gelernt
hast. Ich sehe ja an Deinem Profil, dass Du keine Mathematik studierst.
Und entsprechend "mathematisch schlampig" kann es ja auch mal an der
ein oder anderen Stelle in der Vorlesung zugehen. Das kann ich aber nicht
beurteilen, wir können hier nur versuchen, Dir die Dinge, an denen wir
sofort erkennen, dass Du da etwas "total unsinniges" machst, zu erklären.
Es wäre schön, wenn Deinerseits auch das Interesse gezeigt werden
würde, dass Dich das interessiert. Denn Mathematik betreiben kann man
nicht, in dem man Formeln auswendig lernt. Dann wirst Du ja oft schon
daran scheitern, dass Dir gar nicht klar ist, warum da Unfug rauskam, als
Du die Formel angewendet hast, weil Dir nicht klar war, dass gar nicht die
Voraussetzungen zur Anwendung der Formel gegeben waren.
Ich meine: Nur, weil Du alle Voraussetzungen gegeben hast, um ein Auto
fahren zu dürfen, darfst Du auch noch keinen LKW fahren. Und ich
behaupte mal, dass die wenigsten Autofahrer direkt "richtig gut" einen
LKW fahren könnten, wenn sie es nicht irgendwo erlernt hätten: Sie haben
gewisse Grundlagen dafür erlernt...
( Wobei das Beispiel blöd' ist, aber vielleicht findet ja noch jemand ein viel
besseres.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die praktische Erklärung Roadrunner!!
>
> Ich habe mir dahingehend folgendes überlegt:
>
> Habe mir zuerst die Summe
> [mm]16*\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{n-1}[/mm] angeschaut....
> habe mir dann mal die Glieder so aufgeschrieben... die 1
> bleibt immer stehen, und die restlichen Glieder gehen gegen
> 0. Darf ich dann die 1 stehen lassen? Und die anderen
> vernachlässigen?
was machst Du da eigentlich?
Wenn eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert, so gilt in
notwendiger Weise [mm] $a_n \to [/mm] 0$ (aber letzteres ist NICHT hinreichend für
die Reihenkonvergenz).
Nach Deiner Methode wäre ja
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_k=a_1+...=a_1$$
[/mm]
für jede konvergente Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k\,.$
[/mm]
Außerdem:
Beispiel:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n 1/k^2$$
[/mm]
Und für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\sum_{k=1}^n 1/k^2=1/1^2+1/2^2+...+1/n^2\,.$$
[/mm]
Seit wann gilt [mm] $1/2^2=1/4 \to 0\,,$ $1/3^2=1/9 \to [/mm] 0$ ... $... [mm] \to [/mm] 0$ bei
$n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du kannst [mm] $5*(-2)^{n-1}$ [/mm] nicht zusammenfassen!
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
