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| Aufgabe | Durch Berechnung der Partialsummen und Grenzübergang bestimme
man die Summen der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{infty}\bruch{1}{4k^2-1}.
[/mm]
Hinweis: [mm] 4k^2-1 [/mm] = (2k-1)*(2k+1) |
Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.
Kann mir jemand einen Hinweis geben wie ich vorgehen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 12.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Durch Berechnung der Partialsummen und Grenzübergang
> bestimme
> man die Summen der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{infty}\bruch{1}{4k^2-1}.[/mm]
>
> Hinweis: [mm]4k^2-1[/mm] = (2k-1)*(2k+1)
> Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.
>
> Kann mir jemand einen Hinweis geben wie ich vorgehen muss?
Zerlege dem Bruch in zwei Brüche, mit der Partialbruchzerlegung.
Hier also:
[mm] \frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
Bestimme nun Parameter A und B so, dass
[mm] \frac{A}{2x+1}+\frac{B}{2x-1}=\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
Dazu erweitere
[mm] \frac{A}{2x+1}+\frac{B}{2x-1}
[/mm]
[mm] =\frac{A(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)}+\frac{B(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
[mm] =\frac{A(2x-1)+B(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
[mm] =\frac{A\cdot2x-A+B\cdot2x+B}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
[mm] =\frac{(A+B)\cdot2x+(B-A)}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
Vergleicht man das mit
[mm] \frac{1}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{0\cdot2x+1}{(2x-1)(2x+1)}
[/mm]
ergeben sich zwei Gleichungen für A und B.
Bestimme dann die Parameter A und B aus diesen Gleichungen.
Danach kannst du die Summe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^2-1}[/mm] in eine Summe aus zwei Brüchen zerlegen.
Marius
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Sorry mit dem A und B komme ich nicht zurecht, denn das hatten wir nicht.
Habe aber ne andere Idee gehabt.
Habe mir mal die ersten paar Summen angeschaut.
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{2}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{3}{7}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{4}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{4}{9}
[/mm]
nun kann man erkennen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{k}{2k+1}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{2k+1}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{k}*\bruch{1}{2+\bruch{1}{k}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2+\bruch{1}{k}}=\bruch{1}{2+0}=\bruch{1}{2}
[/mm]
und daraus kann ich doch schlussfolgern, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das so richtig oder muss ich noch irgendwas zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo fireangel!
> Habe mir mal die ersten paar Summen angeschaut.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{2}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{2}{5}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{3}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{3}{7}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{4}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{4}{9}[/mm]
>
> nun kann man erkennen
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^2-1}=\bruch{k}{2k+1}[/mm]
Diese Identität / Gleichheit musst Du nun aber auch allgemein beweisen; z.B. mittels vollständiger Induktion.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 13.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Sorry mit dem A und B komme ich nicht zurecht, denn das
> hatten wir nicht.
>
Wenn du [mm] $\frac{0\cdot2x+1}{(2x-1)(2x+1)} [/mm] $ und $ [mm] \frac{(A+B)\cdot2x+(B-A)}{(2x-1)(2x+1)} [/mm] $ vergleichst, ergeben sich doch zwei Gleichungen, nämlich A+B=0 und B-A=1, also löse das LGS
[mm] $\begin{vmatrix}A+B=0\\B-A=1\end{vmatrix}$
[/mm]
Marius
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