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| Aufgabe | Für einen Körper [mm] K,x\in [/mm] K und [mm] n\in\mathbb{N}_0 [/mm] sei [mm] x^n [/mm] rekursiv durch [mm] x^0:=1, x^{n+1}:=x*x^n [/mm] definiert und das Summenzeichen als [mm] \sum_{k=0}^{0}f(k):=0, \sum_{k=0}^{n+1}:=f(n+1)+\sum_{k=0}^{n}f(k).
[/mm]
Zeigen Sie für [mm] n\in\mathbb{N}_0 [/mm] und [mm] x\not=1 $$\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$ [/mm] |
Zu zeigen: für alle [mm] $n\in\mathbb{N}_0$ [/mm] und [mm] $1\not=x\in\mathbb{K}$ [/mm] gilt: [mm] $$\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsanfang}
[/mm]
n=0
[mm] $$\sum_{k=0}^{0}x^k=x^0=1$$ $$\frac{x^1-1}{x-1}=1$$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsvoraussetzung}
[/mm]
Für ein n=j gilt [mm] $$\sum_{k=0}^{j}x^k=\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsbehauptung}
[/mm]
Für n=j+1 gilt [mm] $$\sum_{k=0}^{j+1}x^k=\frac{x^{j+2}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] \underline{Induktionsschritt}
[/mm]
Sei $n=j+1$
Es ist [mm] $$\sum_{k=0}^{j+1}x^k=x^{j+1}+\sum_{k=0}^{j}x^k$$
[/mm]
Nun setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein und erhalten
[mm] $$x^{j+1}+\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{x-1}{x-1}x^{j+1}+\frac{x^{j+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{(x-1)x^{j+1}+x^{j+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{x^{j+2}-x^{j+1}+x^{j+1}-1}{x-1}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{x^{j+2}-1}{x-1}$$
[/mm]
q.e.d.
Ist ein Tipfehler in der zitierten Aufgabe? Sie ist genauso wie ich sie gestellt bekomme, aber für mich macht die Definition [mm] $\sum_{k=0}^{0}f(k):=0$ [/mm] keinen Sinn.
Ansonsten bitte sagen ob der Beweis ok ist.
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Danke Tobias!
Wo kommt denn eigentlich zu tragen, dass [mm] x\in [/mm] K ist? (im Beweis mein ich)
Das [mm] x\not=1 [/mm] ist, sieht man ja sofort, aber was wäre wenn [mm] x\not\in [/mm] K ist?
Gruß
Jan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 So 13.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Wo kommt denn eigentlich zu tragen, dass [mm]x\in[/mm] K ist? (im
> Beweis mein ich)
>
> Das [mm]x\not=1[/mm] ist, sieht man ja sofort, aber was wäre wenn
> [mm]x\not\in[/mm] K ist?
Schon in der Behauptung wird summiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.
Die wohl vertrauteste algebraische Struktur, in der dies möglich ist, ist die eines Körpers.
Was sollten die Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten bedeuten, wenn [mm] $x\notin [/mm] K$ wäre?
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Hallo Tobias,
Ah ok, das macht natürlich Sinn.
Beziehungsweise: wenn [mm] $x\not\in [/mm] K$, dann machen die Operationen keinen Sinn.
Beziehungsweise die Aussage erhebt ja garnicht den Anspruch etwas darüber auszusagen. Und das ist der Punkt oder?
Gruß
Jan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 14.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sinnlos123!
> Beziehungsweise: wenn [mm]x\not\in K[/mm], dann machen die
> Operationen keinen Sinn.
Auf was willst Du hinaus? "Woher" ist denn [mm] $x\$, [/mm] wenn [mm] $x\$ [/mm] selbst kein Element aus [mm] $K\$ [/mm] ist? 
> Beziehungsweise die Aussage erhebt ja garnicht den Anspruch
> etwas darüber auszusagen. Und das ist der Punkt oder?
Richtig. Tobias hat es auf den Punkt gebracht:
> Schon in der Behauptung wird summiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert.
> Die wohl vertrauteste algebraische Struktur, in der dies möglich ist, ist die eines Körpers.
Gruß
DieAcht
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Alles bestens! 
