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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 13.04.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Ich soll die exakte Schranke dieser Summe herausfinden: [mm] $2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^k(n-k)^2)$ [/mm] |
Meine Lösung:
Abschätzung nach unten:
[mm] $2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^0(n-0)^2) [/mm] = ... = [mm] 2^{n-3} [/mm] + [mm] (n^3-3n^2)$
[/mm]
Abschätzung nach oben:
[mm] $2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^{n-4}(n-(n-4))^2) [/mm] = ... = [mm] 2^{n-3}+16(n-)\cdot 2^{n-4}$
[/mm]
Wie komm ich da nun auf eine exakte Schranke? Darf man die hinteren Teile (die da so additiv dran hängen) weglassen?
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> Ich soll die exakte Schranke dieser Summe herausfinden:
> [mm]2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^k(n-k)^2)[/mm]
>
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> Meine Lösung:
>
> Abschätzung nach unten:
>
> [mm]2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^0(n-0)^2) = ... = 2^{n-3} + (n^3-3n^2)[/mm]
>
> Abschätzung nach oben:
>
> [mm]2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^{n-4}(n-(n-4))^2) = ... = 2^{n-3}+16(n-)\cdot 2^{n-4}[/mm]
>
> Wie komm ich da nun auf eine exakte Schranke? Darf man die
> hinteren Teile (die da so additiv dran hängen) weglassen?
Hallo bandchef,
was soll mit "exakte Schranke" gemeint sein ?
So etwas wie kleinste obere oder größte untere Schranke ?
Da es sich um eine Summe mit endlich vielen Summanden
handelt, müsste aber beides einfach der exakt berechneten
Summe entsprechen. Es ginge also einfach darum, den
Summenterm zu vereinfachen, falls überhaupt möglich.
Oder sind da doch Grenzwerte involviert, also für [mm] n\to\infty [/mm] ?
In diesem Fall ist die entstehende Reihe aber wohl ohnehin
divergent ...
LG Al-Chwarizmi
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> Ich soll die exakte Schranke dieser Summe herausfinden:
> [mm]2^{n-3}+\sum_{k=0}^{n-4}(2^k(n-k)^2)[/mm]
Hallo Bandchef,
ich habe mal rasch Mathematica auf den Term angesetzt.
Ergebnis der Vereinfachung (etwas anders notiert als von
Mathematica):
$\ [mm] 7*2^{n-1}-n^2-4\,n-6\qquad\qquad (n\ge4)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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