Summe zweier Quadrate < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Sa 08.03.2014 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Wann ist [mm] n \in \IN [/mm] als Summe zweier Quadrate darstellbar?
Beispiel n=65 |
Hallo Leute,
also eine natürliche Zahl ist als Summer zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung alle Primzahlen der Form 4k+3 mit geradem Exponenten auftauchen.
Das ist soweit klar
Und ich weiß auch das eine mögliche Zerlegung so aussieht:
[mm] 65 = 5 * 13 [/mm] Damit folgt [mm] 5 = 1^2+2^2 , 13 = 2^2+3^2 [/mm]
So nun wird in der Lösung das ganze als komplexe Zahlen dargestellt, diese multipliziert und dann wieder als natürliche Zahlen dargestellt:
[mm] (1+2i)*(2+3i) = -4+7i \Rightarrow 65=4^2+7^2 [/mm]
Weiter finde ich dann, dass 5 = N(1+2i) und 13 = N(2+3i).
Wieso geht man über die komplexen Zahlen und die Norm aber ohne Wurzel?
Danke für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Katthi
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Hallo,
> Wann ist [mm]n \in \IN[/mm] als Summe zweier Quadrate darstellbar?
> Beispiel n=65
> Hallo Leute,
>
> also eine natürliche Zahl ist als Summer zweier Quadrate
> darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung alle
> Primzahlen der Form 4k+3 mit geradem Exponenten auftauchen.
> Das ist soweit klar
> Und ich weiß auch das eine mögliche Zerlegung so
> aussieht:
> [mm]65 = 5 * 13[/mm] Damit folgt [mm]5 = 1^2+2^2 , 13 = 2^2+3^2[/mm]
> So nun wird in der Lösung das ganze als komplexe Zahlen
> dargestellt, diese multipliziert und dann wieder als
> natürliche Zahlen dargestellt:
> [mm](1+2i)*(2+3i) = -4+7i \Rightarrow 65=4^2+7^2[/mm]
> Weiter finde
> ich dann, dass 5 = N(1+2i) und 13 = N(2+3i).
> Wieso geht man über die komplexen Zahlen und die Norm
> aber ohne Wurzel?
Man geht nicht in die komplexen Zahlen. Man geht hier in den Ring der ganzen gaußschen Zahlen [mm] $\mathbb [/mm] Z [i]$. Der Ring ist euklidisch zu obiger Norm. Mit Norm meint man hier nicht die Norm der Analysis.
Heißt du dir schonmal den Beweis der Aussage, die dir klar ist angeschaut?
Bzw, wie habt ihr es bewiesen?
Der Standardbeweis zeigt gerade warum dieser Weg über die ganzen gaußschen Zahlen funktioniert.
> Danke für eure Hilfe.
>
> Viele Grüße,
>
> Katthi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 09.03.2014 | | Autor: | Katthi |
Vielen Dank für deine Antwort.
Den Beweis mit den Gaußschen Zahlen habe ich leider nicht. Unser Beweis verwendet die nicht.
Wieso verwendet man diese denn?
Aber zumindest weiß ich, dass die Norm dort so definiert ist:
[mm] N(a+bi) = |a+bi|^2 = |z|^2 = z \overline{z}= a^2+b^2 [/mm]
Das erklärt ja schonmal die Vorgehensweise und dass N(2+3i) die Normabbildung der Gaußschen Zahlen ist, richtig?
Viele Grüße,
Katthi
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> Vielen Dank für deine Antwort.
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> Den Beweis mit den Gaußschen Zahlen habe ich leider nicht.
> Unser Beweis verwendet die nicht.
> Wieso verwendet man diese denn?
Die Antwort wird dir wahrscheinlich nicht gefallen, aber im Wesentlichen lautet sie (wie oft in der Mathematik): Weil's funktioniert.
Dass es funktioniert liegt daran, dass die Norm multiplikativ ist.
Es ist insgesamt sehr schwierig bis unmöglich ein Frage "warum macht die Musterlösung das so" zu beantworten ohne diese oder die Vorlesung zu kennen.
> Aber zumindest weiß ich, dass die Norm dort so definiert
> ist:
> [mm]N(a+bi) = |a+bi|^2 = |z|^2 = z \overline{z}= a^2+b^2[/mm]
Richtig.
> Das erklärt ja schonmal die Vorgehensweise und dass
> N(2+3i) die Normabbildung der Gaußschen Zahlen ist,
> richtig?
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> Viele Grüße,
>
> Katthi
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