Summe von zwei Quadraten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Do 07.02.2008 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen Sie;
Sind m und n je Summe von 2 Quadraten ganzer Zahlen, so ist auch ihr Produkt mn Summe von 2 Quadraten.
Sind m und n je Summe von 3 Quadraten ganzer Zahlen, so ist auch ihr Produkt mn Summe von 3 Quadraten. |
Bin leider nicht so fit in Zahlentheori.
Reicht es hier beispielsweise zu zeigen, dass in [mm] \IZ_{7} [/mm] zu wiederlegen
[mm] 1^2 +3^2= [/mm] 3 (=m)
[mm] 1^2+1^2= [/mm] 2 (=n)
Aber 2 [mm] \*3=6 [/mm] und 6 ist aber keine Summe von 2 Quadraten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 07.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen oder wiederlegen Sie;
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> Sind m und n je Summe von 2 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> auch ihr Produkt mn Summe von 2 Quadraten.
>
> Sind m und n je Summe von 3 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> auch ihr Produkt mn Summe von 3 Quadraten.
> Bin leider nicht so fit in Zahlentheori.
>
> Reicht es hier beispielsweise zu zeigen, dass in [mm]\IZ_{7}[/mm] zu
> wiederlegen
Ich denke schon, dass di das hier in [mm] \IR [/mm] zeigen sollst
>
> [mm]1^2 +3^2=[/mm] 3 (=m)
>
> [mm]1^2+1^2=[/mm] 2 (=n)
>
> Aber 2 [mm]\*3=6[/mm] und 6 ist aber keine Summe von 2 Quadraten
>
Das funktioniert nicht, denn 1²+3²=10, also m=10
Mach es dir einfacher, und fang "von hinten" an.
Definier mal folgendes:
[mm] m=(m_{1}²+m_{1}²)
[/mm]
[mm] n=(n_{1}²+n_{2})
[/mm]
Also: [mm] nm=(n_{1}²+n_{2})(m_{1}²+m_{1}²)
[/mm]
Das multipliziere mal aus, und überleg mal, ob du noch irgendwas zu Quadraten zusammenfassen kannst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 07.02.2008 | | Autor: | Manuela |
Hab ich schon versucht bin aber leider nicht weitergekommen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 07.02.2008 | | Autor: | weduwe |
vielleicht liegt die betonung ja mehr auf WIDERLEGEN
[mm](4+9)=13[/mm] und [mm](4+1) = 5[/mm] aber [mm]13\times 5 =65[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 07.02.2008 | | Autor: | Manuela |
> vielleicht liegt die betonung ja mehr auf WIDERLEGEN
>
> [mm](4+9)=13[/mm] und [mm](4+1) = 5[/mm] aber [mm]13\times 5 =65[/mm]
[mm] (1^2+8^2)= [/mm] 65
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Do 07.02.2008 | | Autor: | weduwe |
ja, lesen sollte man können
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 07.02.2008 | | Autor: | abakus |
Dann untersuche doch endlich mal systematish Beispiele von Zahlen m und n, die sich als Summe von 2 Quadratzahlen darstellen lassen.
a b [mm] a^2+b^2
[/mm]
1 1 2
1 2 5
1 3 10
1 4 17
2 2 8
2 3 13
2 4 20
3 3 18
3 4 25
Jetzt bilden wir Produkte der Ergebnisse und sehen nach, ob das wieder als Summe von Quadratzahlen beschrieben werden kann.
2*5=10 = [mm] 3^2+1^2
[/mm]
2 * [mm] 10=20=4^2+2^2
[/mm]
2 * [mm] 17=34=5^2+3^2
[/mm]
2 * 8=16 = [mm] 4^2+0^2
[/mm]
...
[mm] 5*5=25=5^2+0^2
[/mm]
5 * [mm] 10=50=7^2+1^2=5^2+5^2
[/mm]
5 * [mm] 17=85=9^2+2^2
[/mm]
...
das scheint offensichtlich immer zu klappen.
Jetzt suche nach Gesetzmäßigkeiten. Dazu schreiben wir die letzten Beispiele ausführlich:
2*5=10 = [mm] 3^2+1^2 [/mm] bedeutet:
[mm] (1^2+1^2)*(2^2+1^2)=3^2+1^2
[/mm]
2*10=20 = [mm] 4^2+2^2 [/mm] bedeutet:
[mm] (1^2+1^2)*(3^2+1^2)=4^2+2^2
[/mm]
2*17=34 = [mm] 5^2+3^2 [/mm] bedeutet:
[mm] (1^2+1^2)*(4^2+1^2)=5^2+3^2
[/mm]
Die Basen 3, 4 und 5 auf der linken Seite könnten aus 2+1, 3+1 und 4+1 stammen.
Die Basen 1, 2 und 3 auf der linken Seite könnten aus 2-1, 3-1 und 4-1 stammen.
Zur Bestätigung oder Widerlegung dieser Vermutung nehmen wir weitere Beispiele, wo links NICHT [mm] (1^2+1^2) [/mm] steht
5 * [mm] 5=25=5^2+0^2 [/mm] bedeutet
[mm] (2^2+1^2)*(2^2+1^2)=5^2+0^2
[/mm]
5 * [mm] 10=50=7^2+1^2 [/mm] bedeutet
[mm] (2^2+1^2)*(3^2+1^2)=7^2+1^2
[/mm]
5 * [mm] 17=85=9^2+2^2 [/mm] bedeutet
[mm] (2^2+1^2)*(4^2+1^2)=9^2+2^2
[/mm]
Die oben vermutete Gesetzmäßigkeit tritt hier NICHT auf.
Ich merke allerdings, dass 5=2*2+1 und 0=2-2 gilt
Weiter gilt 7=2*3+1 und 1=3-2,
außerdem 9=2*4+1 und 2=4-2. (Und diese Art von Zusammenhängen tritt auch zwischen den vorkommenden Basen der ersten Beispiele auf.)
Das Problem ist nur, dass alle betrachteten Beispiele immer wenigstens einmal [mm] "1^2 [/mm] " enthalten.
...Ein paar Minuten später:
Ich glaube, ich habe es.
Wenn [mm] m=a^2+b^2 [/mm] und [mm] n=c^2+d^2 [/mm] ist, dann gilt
mn= [mm] a^2c^2 [/mm] + [mm] a^2d^2 [/mm] + [mm] b^2c^2 [/mm] + [mm] b^2d^2.
[/mm]
Das gleiche erhält man als Summe von [mm] (ac+bd)^2+(ad-bc)^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 07.02.2008 | | Autor: | weduwe |
ich verbeuge mich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Manuela |
Danke für deine Hilfe
Versuchs jetzt gleich mal für Summen aus 3 Quadraten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Fr 08.02.2008 | | Autor: | abakus |
Liebe Manuela,
spar dir die Mühe. Jede Zahl, die die Summe von 2 Quadraten ist, ist auch die Summe von 3 Quadraten (der dritte Summand ist ganz einfach [mm] 0^2).
[/mm]
(Das herauszufinden hat mich eine Stunde gekostet.)
:-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 08.02.2008 | | Autor: | DoNiPa |
Hallo,
ich sitz grad an der gleichen Aufgabe wie Manuela... Deine Antwort, Abakus, hilft mir aber da ned so ganz weiter.
Wenn man zeigen will, dass das Produkt von zwei Zahlen, die jeweils Summe dreier Quadrate ganzer Zahlen sind, wieder Summe von drei Quadraten ganzer Zahlen ist, muss ich das doch allgemein machen und nicht vom dritten Summanden [mm] 0^2 [/mm] ausgehen !?
Ich habe bereits versucht, ein Gegenbeispiel zu finden, da ichs allgemein nicht beweisen kann... das klappt aber auch nicht, weshalb ich davon ausgehe, dass die Aussage wahr ist.
Wenn ich sie allgemein mit [mm] m=a^2+b^2+c^2 [/mm] und [mm] n=d^2+e^2+f^2 [/mm] zu zeigen versuche, dreh ich mich immer im Kreis...
Manuela, hast du die Aufgabe evtl schon gelöst? Wie bist du dran gegangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Fr 08.02.2008 | | Autor: | abakus |
Du hast recht,
es gibt ja Zahlen, die sich als Summe von drei (von Null verschiedenen) Quadratzahlen darstellen lassen und selbst nicht Summe von nur zwei Quadratzahlen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Fr 08.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Beweisen oder wiederlegen Sie;
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> Sind m und n je Summe von 2 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> auch ihr Produkt mn Summe von 2 Quadraten.
Das kann erkennen, indem man die Quadrate von Beträgen komplexer Zahlen miteinander multipliziert.
> Sind m und n je Summe von 3 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> auch ihr Produkt mn Summe von 3 Quadraten.
Das ist falsch! 3 und 5 sind Summen von 3 Quadraten (5 sogar von 2 Quadraten), um 15 darzustellen, braucht man 4 Quadrate. Das ist ein Satz über Quadratische Formen. Für Zahlen [mm] \equiv [/mm] 7 mod 8 braucht man 4 Quadrate, alle andren gehen mit 3en.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Fr 08.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Mahlzeit!
>
> > Beweisen oder wiederlegen Sie;
> >
> > Sind m und n je Summe von 2 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> > auch ihr Produkt mn Summe von 2 Quadraten.
>
> Das kann erkennen, indem man die Quadrate von Beträgen
> komplexer Zahlen miteinander multipliziert.
>
> > Sind m und n je Summe von 3 Quadraten ganzer Zahlen, so ist
> > auch ihr Produkt mn Summe von 3 Quadraten.
>
> Das ist falsch! 3 und 5 sind Summen von 3 Quadraten (5
> sogar von 2 Quadraten), um 15 darzustellen, braucht man 4
> Quadrate. Das ist ein Satz über Quadratische Formen. Für
> Zahlen [mm]\equiv[/mm] 7 mod 8 braucht man 4 Quadrate,
So weit war ich auch gerade 
> alle andren gehen mit 3en.
Einspruch! Auch 28, 43 und 48 sind nicht als Summe von drei Quadratzahlen darstellbar, obwhl sie nicht den Rest 7 bei Teilung durch 8 lassen.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 08.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> > alle andren gehen mit 3en.
Korrektur: die ungeraden Zahlen inkongruent 7 mod 3 gehen mit 3en
genauer: n braucht 4 Quadrate genau dann wenn n = [mm] 4^{r}(8s+7)
[/mm]
> Einspruch! Auch 28, 43 und 48 sind nicht als Summe von drei
> Quadratzahlen darstellbar, obwhl sie nicht den Rest 7 bei
> Teilung durch 8 lassen.
Gegenvorschläge: 43 = 25 + 9 + 9 und 48 = 16 + 16 + 16
28 braucht wirklich 4: 28 = 25 + 1 + 1 + 1 = 16 + 4 + 4 + 4 = 9 + 9 + 9 + 1
Hohe Geschwindigkeit geht leider manchmal zu Lasten der Qualität. Außerdem ist das alles schon so lange her mit meinem Studium. Ich bitte um Nachsicht.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Fr 08.02.2008 | | Autor: | DoNiPa |
Vielen Dank!!!!!
Dieses Gegenbeispiel muss mir irgendwie durch die Lappen gegangen sein... Da mir der dazugehörige Satz nicht bekannt war, konnte ich nur "probieren"... Aber jetzt is mir klar, dankeschön!
lg kathrin
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