Summe von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mi 21.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Wie muss ich den Konkreten Grenzwert einer Reihe (bzw. dessen Summe) berechnen?
Ich weiß, wie ich die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe zu bestimmen habe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} k^n [/mm] = [mm] \bruch{1-k^{n+1}}{1-k} [/mm]
Aber wie muss ich das nun machen, wenn ich diese Reihe gegeben habe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n^2-1}
[/mm]
und dessen Summe bestimmen soll?
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Hallo m0ppel!
Führe zunächst eine  Partialbruchzerlegung durch:
[mm] $$\bruch{1}{4n^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2n+1)*(2n-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{2n+1}+\bruch{B}{2n-1}$$
[/mm]
Anschließend bzw. damit erhältst Du eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Summanden eliminieren.
Gruß vom
Roadrunner
PS: Diese Reihe hat nichts mit der Formel der geometrischen Reihe zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 21.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Das hab ich nun gemacht: dann kommt heraus
[mm]\bruch{1}{4n^2-1} = \bruch{-1}{4n+2} + \bruch{1}{4n-2}[/mm]
stetze ich nun ein:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{6} + \bruch{1}{6} - \bruch{1}{10} + \bruch{1}{10} -\bruch{1}{14} ...[/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Jedoch weiß ich hier nicht, ob da noch was fehlt, da sich ja vom letzten ausgeführtem Schritt der 2. Bruch nicht wegkürzt oder kann man das vernachlässigen, da n gegen unendlich geht und somit der letzte Bruch unberücksichtigt werden kann?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das hab ich nun gemacht: dann kommt heraus
> [mm]\bruch{1}{4n^2-1} = \bruch{-1}{4n+2} + \bruch{1}{4n-2}[/mm]
>
> stetze ich nun ein:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{6} + \bruch{1}{6} - \bruch{1}{10} + \bruch{1}{10} -\bruch{1}{14} ...[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Jedoch weiß ich hier nicht, ob da noch was fehlt, da
> sich ja vom letzten ausgeführtem Schritt der 2. Bruch
> nicht wegkürzt oder kann man das vernachlässigen, da n
> gegen unendlich geht und somit der letzte Bruch
> unberücksichtigt werden kann?
Du mußt
[mm] $\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4k-2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4k+2}) [/mm] $
berechnen und dann schauen, was bei n [mm] \to \infty [/mm] passiert
FRED
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mi 21.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
> Du mußt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4k-2} - \bruch{1}{4k+2})[/mm]
>
> berechnen
das hab ich doch getan, oder?
> und dann schauen, was bei n [mm]\to \infty[/mm] passiert
hier würde ich dann ergänzen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{6} + \bruch{1}{6} - \bruch{1}{10} + \bruch{1}{10} -\bruch{1}{14} ...[/mm]
= [mm]\bruch{1}{2} - \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4n+1}[/mm]
und da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4n+1} [/mm] =0
folgt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2} [/mm]
oder was verstehe ich hier falsch?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Du mußt
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4k-2} - \bruch{1}{4k+2})[/mm]
> >
> > berechnen
> das hab ich doch getan, oder?
Nein. Du sollst die endliche Summe [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4k-2} - \bruch{1}{4k+2})[/mm] berechnen
FRED
>
> > und dann schauen, was bei n [mm]\to \infty[/mm] passiert
>
> hier würde ich dann ergänzen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{6} + \bruch{1}{6} - \bruch{1}{10} + \bruch{1}{10} -\bruch{1}{14} ...[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} - \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4n+1}[/mm]
>
> und da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{4n+1}[/mm] =0
> folgt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{4n-2} + \bruch{-1}{4n+2}) = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> oder was verstehe ich hier falsch?
> Lg
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